5日本大学 2015年 数学 第5問解答・解説

日本大学 2015年度 数学 Q5

$a>1$ とする。曲線 $y=1/x\ (x>0)$ 上の $(a,1/a)$ における接線の傾きは $-1/a^2$ だから、法線 $n$ の傾きは $a^2$ である。従って $$\displaystyle n:\ y-\frac1a=a^2(x-a), \qquad y=a^2x-a^3+\frac1a.$$ 直線 $x=a$ に関する対称移動は $(x,y)\mapsto(2a-x,y)$ なので、反射後の直線は $$\displaystyle \boxed{f(x)=-a^2x+a^3+\frac1a}.$$

(1) 交点と領域 $D$

曲線と直線の交点は、$x>0$ に注意して $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)-\frac1x &=\frac{-a^2x^2+(a^3+1/a)x-1}{x}\\ &=-\frac{a^2(x-a)(x-a^{-3})}{x} \end{aligned}$$ から求められる。交点の $x$ 座標は $a^{-3}$ と $a$ であり、対応する点は $$A=(a^{-3},a^3),\qquad B=(a,a^{-1}).$$ $a>1$ だから $a^{-3}<a$。また $x>0$ の下で $f(x)\ge1/x$ は $(x-a)(x-a^{-3})\le0$、すなわち $a^{-3}\le x\le a$ と同値である。従って領域は $$\displaystyle \boxed{D=\left\{(x,y):a^{-3}\le x\le a,\quad \frac1x\le y\le -a^2x+a^3+\frac1a\right\}}.$$

*図1　領域Dの概形（a=3/2の模式図）*

図示するには、まず $A,B$ を取り、右下がりの直線 $y=f(x)$ と右下がりの曲線 $y=1/x$ をこの2点で交わらせる。区間 $a^{-3}<x<a$ では直線が曲線より上にあるので、その間を塗る。すなわち、上側境界が線分 $AB$、下側境界が双曲線の弧 $AB$ である。

(2) $x+y$ の最小値と最大値

$D$ では $x>0$ かつ $y\ge1/x$ だから $$\displaystyle x+y\ge x+\frac1x\ge2,$$ 最後の不等式は $(\sqrt{x}-1/\sqrt{x})^2\ge0$ による。$a^{-3}<1<a$ なので $x=1$ は許され、(1)の領域条件から 点 $(1,1)$ は $D$ に属する。よって $$\displaystyle \boxed{\min\limits _D(x+y)=2}$$ であり、$(x,y)=(1,1)$ で達成する。

一方 $y\le f(x)$ なので $$\displaystyle x+y\le x+f(x)=(1-a^2)x+a^3+\frac1a.$$ 係数 $1-a^2<0$ より右辺は $x$ の減少関数であり、$x\ge a^{-3}$ の範囲の左端 $x=a^{-3}$ で最大となる。その端点では $f(a^{-3})=a^3=1/a^{-3}$ だから上の評価は等号となる。従って $$\displaystyle \boxed{\max\limits _D(x+y)=a^{-3}+a^3}$$ であり、点 $(a^{-3},a^3)$ で達成する。

**使用解法:** 接線・法線の傾き、直線対称移動、交点の因数分解と不等式で領域を特定、平方の非負性による最小値、一次関数の単調性による最大値。

**issues:** なし。