3日本大学 2015年 数学 第3問解答・解説

日本大学 2015年度 数学 Q3

$$|\vec a|=|\vec c|=3,\quad |\vec b|=4,\quad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=4,\quad \vec c\cdot\vec a=5$$ を用いる。

(1) 三角形 $ABC$ の面積

辺の長さの2乗を内積で計算すると $$\begin{aligned} AB^2&=|\vec b-\vec a|^2=16+9-2\cdot4=17,\\ BC^2&=|\vec c-\vec b|^2=9+16-2\cdot4=17,\\ AC^2&=|\vec c-\vec a|^2=9+9-2\cdot5=8. \end{aligned}$$ 従って $AB=BC=\sqrt{17}$、$AC=2\sqrt2$ である。二等辺三角形なので、頂点 $B$ から $AC$ に下ろした垂線は $AC$ を二等分する。その高さを $h$ とすると $$h^2=17-(\sqrt2)^2=15,\qquad h=\sqrt{15}.$$ したがって面積は $$\displaystyle \boxed{\frac12(2\sqrt2)(\sqrt{15})=\sqrt{30}}.$$

(2) $N$ の位置ベクトル

$M=\vec a/2$ である。$N$ を線分 $BM$ 上の点として $$\displaystyle \overrightarrow{ON} =\vec b+\tau\left(\frac{\vec a}{2}-\vec b\right) =\frac{\tau}{2}\vec a+(1-\tau)\vec b$$ と表す。$N$ は $OL$ 上にあり、$OL\perp AB$ だから $$\overrightarrow{ON}\cdot(\vec b-\vec a)=0.$$ ここで $$\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=4-9=-5,\qquad \vec b\cdot(\vec b-\vec a)=16-4=12.$$ よって $$\displaystyle -\frac52\tau+12(1-\tau)=0,\qquad \tau=\frac{24}{29}.$$ これを位置ベクトルに代入して $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{ON}=\frac{12\vec a+5\vec b}{29}}.$$

また、$\overrightarrow{OL}=(1-\sigma)\vec a+\sigma\vec b$ と表して垂直条件を使うと $$\displaystyle -5(1-\sigma)+12\sigma=0,\qquad \sigma=\frac5{17},$$ よって $\overrightarrow{OL}=(12\vec a+5\vec b)/17$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{17}{29}\overrightarrow{OL}$$ である。既に $\tau=24/29$ なので、$N$ は線分 $BM$ と線分 $OL$ の双方の内部にあり、求める交点である。

(3) 垂線 $OH$ と四面体の体積

$$\displaystyle \vec h=\frac{2\vec a+\vec b+2\vec c}{5}$$ とおく。係数の和が1なので、点 $H$ は平面 $ABC$ 上にある。また $$\displaystyle \begin{aligned} \vec h\cdot(\vec b-\vec a) &=\frac{2(-5)+12+2(-1)}5=0,\\ \vec h\cdot(\vec c-\vec a) &=\frac{2(-4)+0+2(4)}5=0. \end{aligned}$$ 従って $\vec h$ は平面 $ABC$ 内の2方向 $AB,AC$ の両方に垂直であり、$H$ は $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足である。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OH}=\frac{2\vec a+\vec b+2\vec c}{5}}.$$

その長さは内積を展開して $$\displaystyle \begin{aligned} |OH|^2 &=\frac1{25}|2\vec a+\vec b+2\vec c|^2\\ &=\frac{4\cdot9+16+4\cdot9+4\cdot4+8\cdot5+4\cdot4}{25} =\frac{32}{5}, \end{aligned} \qquad |OH|=\frac{4\sqrt{10}}5.$$ (1)の面積を底面積、$|OH|$ を高さとして $$\displaystyle \boxed{V=\frac13\cdot\sqrt{30}\cdot\frac{4\sqrt{10}}5 =\frac{8\sqrt3}{3}}.$$

**使用解法:** 内積で辺長を求める、二等辺三角形の高さ、線分の内分表示と垂直条件、平面上のアフィン結合と法線条件、底面積と高さによる体積。

**issues:** なし。