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北海道大学／2015年度

北海道大学 2015年 数学 第3問解答・解説

ベクトル

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1問題

北海道大学2015年度第3問

空間の3点 O(0, 0, 0), A(1, 1, 1), B(-1, 1, 1) の定める平面を α\alpha とし, OA→=a→\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a}, OB→=b→\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b} とおく。α\alpha 上の点 C があり, その xx 座標が正であるとする。ベクトル OC→\overrightarrow{\mathrm{OC}} が a→\overrightarrow{a} に垂直で, 大きさが 1 であるとする。OC→=c→\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c} とおく。

(1) C の座標を求めよ。

(2) b⃗=sa⃗+tc⃗\vec{b}=s\vec{a}+t\vec{c} をみたす実数 s, t を求めよ。

(3) α 上にない点 P(x, y, z) から α に垂線を下ろし, α との交点を H とする。 OH→=ka⃗+lc⃗\overrightarrow{OH}=k\vec{a}+l\vec{c} をみたす実数 k, l を x, y, z で表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

空間ベクトルを成分表示し、内積と垂直条件で各小問を解く。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)C=(26,−16,−16),\displaystyle (1) C=\left(\frac{2}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6}\right),
    (2)s=13,t=−263,\displaystyle (2) s=\frac13,\quad t=-\frac{2\sqrt6}{3},
    (3)k=x+y+z3,l=2x−y−z6.\displaystyle (3) k=\frac{x+y+z}{3},\quad l=\frac{2x-y-z}{\sqrt6}.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) OX→=ua⃗+vb⃗=(u−v,u+v,u+v)(u,v は実数) と表せるので、α は y=z で表される。 C=(r,s,s) とおく。c⃗⊥a⃗ より r+2s=0、また ∣c⃗∣=1 より r2+2s2=1。r=−2s を代入すると 6s2=1。r>0 だから s=−1/6,r=2/6 であり、C=(2/6,−1/6,−1/6). (2) b⃗=sa⃗+tc⃗ の各成分を比較すると s+2t/6=−1,s−t/6=1。差をとって 3t/6=−2 より t=−26/3、これを後式に代入して s=1/3。 (3) OH→=ka⃗+lc⃗ とする。PH→⊥α なので (p⃗−ka⃗−lc⃗)⋅a⃗=0,(p⃗−ka⃗−lc⃗)⋅c⃗=0。ここで a⃗⋅a⃗=3,c⃗⋅c⃗=1,a⃗⋅c⃗=0 だから、x+y+z−3k=0,(2x−y−z)/6−l=0。したがって k=(x+y+z)/3,l=(2x−y−z)/6。\text{(1) }\overrightarrow{OX}=u\vec a+v\vec b=(u-v,u+v,u+v) (u,v\text{ は実数})\text{ と表せるので、}\alpha\text{ は }y=z\text{ で表される。}\ C=(r,s,s)\text{ とおく。}\vec c\perp\vec a\text{ より }r+2s=0\text{、また }|\vec c|=1\text{ より }r^2+2s^2=1\text{。}r=-2s\text{ を代入すると }6s^2=1\text{。}r>0\text{ だから }s=-1/\sqrt6, r=2/\sqrt6\text{ であり、}C=(2/\sqrt6,-1/\sqrt6,-1/\sqrt6).\ \text{(2) }\vec b=s\vec a+t\vec c\text{ の各成分を比較すると }s+2t/\sqrt6=-1, s-t/\sqrt6=1\text{。差をとって }3t/\sqrt6=-2\text{ より }t=-2\sqrt6/3\text{、これを後式に代入して }s=1/3\text{。}\ \text{(3) }\overrightarrow{OH}=k\vec a+l\vec c\text{ とする。}\overrightarrow{PH}\perp\alpha\text{ なので }(\vec p-k\vec a-l\vec c)\cdot\vec a=0, (\vec p-k\vec a-l\vec c)\cdot\vec c=0\text{。ここで }\vec a\cdot\vec a=3, \vec c\cdot\vec c=1, \vec a\cdot\vec c=0\text{ だから、}x+y+z-3k=0, (2x-y-z)/\sqrt6-l=0\text{。したがって }k=(x+y+z)/3, l=(2x-y-z)/\sqrt6\text{。}

この問題で使う考え方

  • 位置ベクトル
  • ベクトルの成分表示
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

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