II鳥取大学 2015年 数学 第II問解答・解説

平面ABC内の方向ベクトルは$\overrightarrow{AB}=\allowbreak{}(-1,\allowbreak{}2,\allowbreak{}0)$、$\overrightarrow{AC}=\allowbreak{}(-1,\allowbreak{}1,\allowbreak{}2)$である。$\vec n=\allowbreak{}(4,\allowbreak{}2,\allowbreak{}1)$とおくと、$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=\allowbreak{}0$、$\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=\allowbreak{}0$だから、$\vec n$は平面ABCに垂直である。　 (1) 平面ABCの方程式は、点Aを通り法線ベクトルが$\vec n$であることから$4(x-2)+2y+z=\allowbreak{}0$、すなわち$4x+2y+z=\allowbreak{}8$である。$OH\perp ABC$より、$H=\allowbreak{}(4k,\allowbreak{}2k,\allowbreak{}k)$とおける。これを平面の方程式に代入すると$21k=\allowbreak{}8$なので、$\displaystyle H=\allowbreak{}(\frac{32}{21},\allowbreak{}\frac{16}{21},\allowbreak{}\frac{8}{21})$である。一方、$\vec a=\allowbreak{}(2,\allowbreak{}0,\allowbreak{}0),\allowbreak{}\ \vec b=\allowbreak{}(1,\allowbreak{}2,\allowbreak{}0),\allowbreak{}\ \vec c=\allowbreak{}(1,\allowbreak{}1,\allowbreak{}2)$より、$s\vec a+t\vec b+u\vec c=\allowbreak{}(2s+t+u,\allowbreak{}2t+u,\allowbreak{}2u)$である。各成分を比較して$\displaystyle 2u=\allowbreak{}\frac{8}{21}$、$\displaystyle 2t+u=\allowbreak{}\frac{16}{21}$、$\displaystyle 2s+t+u=\allowbreak{}\frac{32}{21}$を解くと、$\displaystyle u=\allowbreak{}\frac{4}{21},\allowbreak{}\ t=\allowbreak{}\frac{2}{7},\allowbreak{}\ s=\allowbreak{}\frac{11}{21}$を得る。　 (2) $P$は直線AH上にもBC上にもあるので、実数$r,\allowbreak{}q$を用いて$P=\allowbreak{}A+r(H-A)=\allowbreak{}B+q(C-B)$とおく。各表示の座標は$\displaystyle (2-\frac{10r}{21},\allowbreak{}\frac{16r}{21},\allowbreak{}\frac{8r}{21})$、$(1,\allowbreak{}2-q,\allowbreak{}2q)$である。第1成分を比較して$\displaystyle r=\allowbreak{}\frac{21}{10}$、第3成分を比較して$\displaystyle q=\allowbreak{}\frac{2}{5}$となる。このとき第2成分も$\displaystyle \frac{8}{5}=\allowbreak{}2-\frac{2}{5}$と一致する。したがって$\displaystyle BP:PC=\allowbreak{}q:(1-q)=\allowbreak{}\frac{2}{5}:\frac{3}{5}=\allowbreak{}2:3$。　 (3) 上より$\displaystyle P=\allowbreak{}(1,\allowbreak{}\frac{8}{5},\allowbreak{}\frac{4}{5})$だから、$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\allowbreak{}(-1,\allowbreak{}\frac{8}{5},\allowbreak{}\frac{4}{5})$。よって$\displaystyle AP=\allowbreak{}\sqrt{(-1)^2+(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\allowbreak{}\sqrt{\frac{105}{25}}=\allowbreak{}\frac{\sqrt{105}}{5}$。