III鳥取大学 2015年 数学 第III問解答・解説

(1) $x>0$ とし、$h\to0$（$x+h>0$）のとき $$\displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\longrightarrow\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$ したがって、$C_1$ の $x=a$ における接線の傾きは $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt a}$。点 $(a,\sqrt a)$ を通るから $$\displaystyle L_1:\quad y-\sqrt a=\frac{1}{2\sqrt a}(x-a),\qquad y=\frac{x+a}{2\sqrt a}.$$

(2) $C_2$ 上の点を $(t,1/t)$（$t>0$）とすると、その接線の傾きは $$\displaystyle \frac{\frac{1}{t+h}-\frac{1}{t}}{h}=-\frac{1}{t(t+h)}\longrightarrow-\frac{1}{t^2}.$$ $L_2\perp L_1$ だから $$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt a}\left(-\frac{1}{t^2}\right)=-1, \qquad t=\frac{1}{\sqrt2\,a^{1/4}}.$$ この点を通る接線は $$\displaystyle y-\frac1t=-\frac1{t^2}(x-t),\qquad L_2:\quad y=-2\sqrt a\,x+2\sqrt2\,a^{1/4}.$$

(3) $L_2$ と座標軸との交点は $A=(2t,0)$、$B=(0,2/t)$ で、$t>0$ より折れ線の長さは $$\displaystyle l=OA+OB=2t+\frac2t=\frac{\sqrt2}{a^{1/4}}+2\sqrt2\,a^{1/4}.$$ $r=1/t=\sqrt2\,a^{1/4}>0$ とおくと $$\displaystyle l=2\left(r+\frac1r\right),\qquad l-4=\frac{2(r-1)^2}{r}\ge0.$$ 等号は $r=1$、すなわち $a=1/4$ のときに限る。従って最小値は $4$ である。

差商を有理化して各接線の傾きを求め、直交条件から$C_2$上の接点を決める。軸切片の長さを正の変数$\displaystyle r=\frac1t$で表し、平方の非負性から最小値と等号条件を得る。