鳥取大学 2015年数学第IV問解答・解説

微分法積分法

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1問題

鳥取大学2015年度第IV問

連続関数 $f(x)$ は次の条件を満たす。 $\displaystyle f(x)=1+\int_0^x(x-t)f(t)\,dt$ このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\phi(x)=f(x)+f'(x)$ とおくとき、 $\displaystyle \frac{\phi'(x)}{\phi(x)}$ を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac{\phi'(x)}{\phi(x)}=1$ . (2) f(x)= $\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}2$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

微分すると $\displaystyle f'(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ 、f''(x)=f(x) であり、f(0)=1、f'(0)=0 である。φ=f+f' とおくと φ'=φ、φ(0)=1 なので、φ=eˣ、φ'/φ=1 を得る。さらに f+f'=eˣ より (eˣf)'=e^(2x) となる。0からxまで積分して $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$ を得る。

この問題で使う考え方

微積分基本定理
積の微分
初期値の利用

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