III慶應義塾大学 2015年 数学 第III問解答・解説

(1) 曲線の式から $$f(x)=\left(1-x^{1/p}\right)^q\qquad(0\le x\le1).$$ $0<x<1$ で2回微分すると $$\displaystyle f''(x)=-\frac{q}{p^2}x^{1/p-2} (1-x^{1/p})^{q-2}\left\{1-p-(q-p)x^{1/p}\right\}.$$ 先頭の係数とべき因子は $0<x<1$ で0にならず、正負も変わらない。したがって変曲点をもつための必要十分条件は、波括弧内の一次式が $0<x^{1/p}<1$ で符号を変えることである。その根は $$\displaystyle x^{1/p}=\frac{1-p}{q-p}.$$ この根が0より大きく1より小さいことは $p<1<q$ または $q<1<p$ と同値である。よって $$(\text{あ})\quad (p-1)(q-1)<0.$$

(2) 面積は $$\displaystyle S(p,q)=\int_0^1(1-x^{1/p})^q\,dx.$$ $p=1$ とすると $$\displaystyle S(1,q)=\int_0^1(1-x)^q\,dx=\frac1{q+1},$$ 従って $(\text{い})=1/(q+1)$。

$p>1$ とし、$t=x^{1/p}$ と置換すると $$\displaystyle S(p,q)=p\int_0^1t^{p-1}(1-t)^q\,dt,\qquad S(p-1,q+1)=(p-1)\int_0^1t^{p-2}(1-t)^{q+1}\,dt.$$ $t^{p-1}(1-t)^{q+1}$ は両端で0であり、その導関数を $0$ から $1$ まで積分すると $$\displaystyle (p-1)\int_0^1t^{p-2}(1-t)^{q+1}\,dt =(q+1)\int_0^1t^{p-1}(1-t)^q\,dt.$$ 従って $$\displaystyle S(p,q)=\frac{p}{q+1}S(p-1,q+1),$$ すなわち $(\text{う})=p/(q+1)$。$p,q$ が自然数ならこの関係を $p=1$ まで繰り返し、 $$\displaystyle S(p,q)=\frac{p(p-1)\cdots1}{(q+1)(q+2)\cdots(q+p)} =\frac{p!\,q!}{(p+q)!}.$$ よって $(\text{え})=p!q!/(p+q)!$。

(3) $u=x^{1/3},\ v=y^{1/3}$ と置くと $u,v\ge0$, $u+v=1$ であり、 $$x+y=u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)=1-3uv.$$ $uv$ は $0\le uv\le1/4$ を動き、$uv=1/4$ のとき交点は1点だけである。従って2点で交わる条件は $$\displaystyle \frac14<\alpha\le1,$$ ゆえに $(\text{お})=1/4$。2交点に対応する値を $u_1,u_2$ とすれば、$u_1+u_2=1$ および $u_1u_2=(1-\alpha)/3$ より $$\displaystyle x_1^{1/3}x_2^{1/3}=\frac{1-\alpha}{3}, \qquad (x_1^{1/3}-x_2^{1/3})^2 =(u_1+u_2)^2-4u_1u_2 =\frac{4\alpha-1}{3}.$$ 従って $(\text{か})=(1-\alpha)/3$, $(\text{き})=(4\alpha-1)/3$。

$\alpha_0=1/4$ とする。$x_i=u_i^3$、$y_i=(1-u_i)^3$ だから $$\displaystyle PQ^2=2(u_1^3-u_2^3)^2 =2(u_1-u_2)^2(1-u_1u_2)^2 =\frac{2(4\alpha-1)(\alpha+2)^2}{27}.$$ よって $$\displaystyle \lim\limits _{\alpha\to1/4+0}\frac{PQ^2}{\alpha-\alpha_0} =\lim\limits _{\alpha\to1/4+0}\frac{8(\alpha+2)^2}{27} =\frac32.$$ したがって $(\text{く})=3/2$。