慶應義塾大学 2015年数学第I問解答・解説

指数関数・対数関数二次関数数と式三角関数

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1問題

慶應義塾大学2015年度第I問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。

(1) 不等式 $\displaystyle \log_{2}(5-2x)+2\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\leq 0$ をみたす $x$ の範囲は $\boxed{(\text{あ})}$ である。

(2) 2つの関数 $\displaystyle f(x)=\left|x^2+3bx-\frac{b}{4}\right|,\qquad g(x)=x^2+3b|x|-\frac{b}{4}$ の最小値が一致するような $b$ の範囲は $\boxed{(\text{い})}$ である。

(3) $\displaystyle 0\leq\alpha<\frac{\pi}{2}$ のとき，関数 $\displaystyle f(x)=\sin(x-\alpha)\cos x\qquad\left(\alpha\leq x\leq\frac{\pi}{2}\right)$ は $x=\boxed{(\text{う})}$ において最大値をとる。この最大値が $\displaystyle \frac{1}{4}$ となるのは $\alpha=\boxed{(\text{え})}$ のときである。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \sqrt{10}-3\le x<\frac52$
(2)
−1/9 ≦ b ≦ 0
(3)
最大となる $\displaystyle x=\frac\pi4+\frac\alpha2$ 、最大値= $\displaystyle \frac14$ となる $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}(1)\quad&-2<x<5/2,\&\log_2\frac{5-2x}{(x+2)^2}\le0\text{であるための必要十分条件は} x^2+6x-1\ge0,\&\sqrt{10}-3\le x<5/2.\\(2)\quad&\Delta=b(9b+1),\quad\min g=\begin{cases}-b/4&(b\ge0),\\-9b^2/4-b/4&(b<0),\end{cases}\&\min f=\min g\text{であるための必要十分条件は} -1/9\le b\le0.\\(3)\quad&f(x)=\frac{\sin(2x-\alpha)-\sin\alpha}{2},\&x_{\max}=\pi/4+\alpha/2,\quad f_{\max}=(1-\sin\alpha)/2,\&f_{\max}=1/4\text{であるための必要十分条件は}\alpha=\pi/6.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

対数の底の変換と定義域
判別式と平方完成
積和公式と区間最大

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