I鳥取大学 2015年 数学 第I問解答・解説

各桁は $1,2,3,4$ の4通りから選べるので、5桁整数は $4^5=1024$ 個ある。

(1)(a) 2の倍数になるには一の位が2または4。ほかの4桁は自由なので $2\cdot4^4=512$ 個。

(1)(b) 9の倍数であることは各桁の和が9の倍数であることと同値である。和は5以上20以下なので、9または18の場合を数える。和が9なら $x_i=a_i-1$ とおくと $x_1+\cdots+x_5=4$、$0\le x_i\le3$。上限なしの解は $\displaystyle \binom84=70$ 個で、ある $x_i\ge4$ となる5個を除いて65個。和が18なら $y_i=4-a_i$ として $y_1+\cdots+y_5=2$。上限は自動的に満たされるので $\displaystyle \binom64=15$ 個。合計は $65+15=80$ 個。

(1)(c) 万の位が3または4なら $2\cdot4^4=512$ 個。万の位が2なら、22000以上になるには千の位が2,3,4のいずれかであり、残り3桁は自由であるから $3\cdot4^3=192$ 個。合計は $512+192=704$ 個。

(2) 同じ整数を2回選ぶ場合は1024通り。異なる2個を選ぶ場合は、小さい方を $m$、大きい方を $n$ とすれば $m<n$ が一意に定まり、$\displaystyle \binom{1024}{2}$ 通り。したがって $$\displaystyle 1024+\binom{1024}{2}=524800$$ 組である。