1鹿児島大学 2015年 新教育課程 数学 第1問解答・解説

(1) 原文の文字列は $SATTUN$。最初が $S$ または $N$ の場合、残り5文字にはTが2個あるため、各場合は $5!/2!=60$ 通り。最初がTの場合、残り5文字はすべて異なるので $5!=120$ 通り。よって総数は $$2\cdot60+120=240.$$

(2) 小円の中心を $O'$ とする。$O'Q$ は接線ABに垂直なので $\angle PQO'=30^\circ$。また $O'P=O'Q=r$ より二等辺三角形 $O'PQ$ の底角も $30^\circ$、したがって中心角 $\angle PO'Q=120^\circ$。大円の中心O、小円の中心O'、Pは一直線上にあり、$OO'=OP-O'P=r$。ゆえに $\angle OO'Q=60^\circ$ で、$OO'=O'Q=r$ から三角形 $OO'Q$ は正三角形、$OQ=r$。余弦定理より $$PQ^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2, \quad PQ=\sqrt3r.$$ 大円の点Qの方べきより $$QP\cdot QM=OP^2-OQ^2=4r^2-r^2=3r^2,$$ したがって $QM=\sqrt3r$。

(3) ユークリッドの互除法を用いると $$37=32+5,\quad32=6\cdot5+2,\quad5=2\cdot2+1,$$ ゆえに $$1=5-2(32-6\cdot5)=13\cdot37-15\cdot32.$$ したがって一組の整数解は $(x,y)=(13,-15)$ である。