3鹿児島大学 2015年 新教育課程 数学 第3問解答・解説

3-1. 漸化式の右辺は、$n$ が奇数なら $n$、偶数なら $0$ である。よって $$a_2=1,\quad a_3=1,\quad a_4=3,\quad a_5=3.$$ $b_n=a_{2n-1}$ は奇数 $1,3,\ldots,2n-3$ の和なので $b_n=(n-1)^2$。さらに $c_n=a_{2n}=b_n+(2n-1)=n^2$。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{50}(-1)^n a_n=\sum\limits _{j=1}^{25}\{j^2-(j-1)^2\}=\sum\limits _{j=1}^{25}(2j-1)=625.$$

3-2. $\lambda=\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a\ne0$ とおく。$\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0$ だから $OA\perp BC$。また、外心 $P$ は $OB=OC$ から等距離にあり、$PB=PC$ でもあるので、$P$ と $M$ を結ぶ直線は $BC$ に垂直である。仮定 $M\ne P$ より $MP$ は定まり、$MP\parallel OA$。

$\overrightarrow{MP}=t\vec a$ とすると、$\overrightarrow{OM}=(\vec b+\vec c)/2$、$\overrightarrow{ON}=\vec b/2$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\vec b+\vec c}{2}+t\vec a,\qquad \overrightarrow{NP}=\frac{\vec c}{2}+t\vec a.$$ 外心の条件 $OP=PB$ を二乗して整理すると $2\overrightarrow{OP}\cdot\vec b=|\vec b|^2$。上の式を代入すれば $\lambda+2t\lambda=0$、従って $t=-1/2$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{-\vec a+\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{NP}=\frac{-\vec a+\vec c}{2},$$ $$\displaystyle OP=\frac12\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-2\lambda},\qquad NP=\frac12\sqrt{|\vec a|^2+|\vec c|^2-2\lambda}.$$

3-3. 1回の試行で2枚とも表が出る確率を $1/4$、出ない確率を $3/4$ とする。$1\le k<n$ では $$\displaystyle P(X_n=k)=\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14,$$ また $n\ge4$ なので $P(X_n>3)=(3/4)^3=27/64$。$X_n=n$ は最初の $n-1$ 回が失敗なら必ず起きるから $$\displaystyle P(X_n=n)=\left(\frac34\right)^{n-1}.$$ さらに $P(X_n\ge k)=(3/4)^{k-1}$ より $$\displaystyle E_n=\sum\limits _{k=1}^n P(X_n\ge k)=4\left\{1-\left(\frac34\right)^n\right\},\qquad E_{n+1}-E_n=\left(\frac34\right)^n.$$

3-1は奇数番目の差分だけが非零となることから部分列を平方数で表し、交代和を奇数の和に直す。3-2は内積条件から$OA$を$BC$に垂直とし、外心と中点を結ぶ線も$BC$に垂直であることを使う。外心の等距離条件で係数$t$を決める。3-3は成功確率$\displaystyle \frac14$の打切り幾何分布として分布と期待値を計算する。