5鹿児島大学 2015年 新教育課程 数学 第5問解答・解説

(1) $-1=\cos\pi+i\sin\pi$ と表せる。$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと、$z^4=-1$ より $r^4=1$ なので $r=1$。偏角は $$\displaystyle 4\theta\equiv\pi\pmod{2\pi},\qquad \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\quad(k=0,1,2,3)$$ である。従って解は $$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt2},\quad\frac{-1+i}{\sqrt2},\quad\frac{-1-i}{\sqrt2},\quad\frac{1-i}{\sqrt2}.$$

(2) $\alpha^4=-1$ から $|\alpha|=1$。距離の条件を2乗して展開すると $$|z|^2+2\operatorname{Re}(z\overline\beta)-4\operatorname{Re}(z\overline\alpha)-|\beta|^2+2=0.$$ 平方完成すれば $$|z-(2\alpha-\beta)|^2=2|\beta-\alpha|^2.$$ したがって、この軌跡は中心 $2\alpha-\beta$、半径 $\sqrt2|\beta-\alpha|$ の円（ただし $\beta=\alpha$ では一点）である。中心が原点となるには $2\alpha-\beta=0$、すなわち $$\beta=2\alpha$$ である。このとき半径は $\sqrt2|\alpha|=\sqrt2>0$ なので、実際に原点中心の円 $|z|=\sqrt2$ となる。

(3) $z$ と $i$ の中点を $w$ とすると $w=(z+i)/2$、すなわち $z=2w-i$。 (2)で求めた円 $|z|=\sqrt2$ に代入して $$\displaystyle |2w-i|=\sqrt2\quad\text{すなわち}\quad\left|w-\frac{i}{2}\right|=\frac1{\sqrt2}.$$ よって $w$ の軌跡は中心 $i/2$、半径 $1/\sqrt2$ の円である。