9秋田大学 2018年 数学 第9問解答・解説

(i) $z_1,z_2$ を偏角がそれぞれ $\theta+\phi,\theta-\phi$ の単位複素数とすると $$z_1+z_2=2\cos\phi\,e^{i\theta}.$$ 和が正の実数 $3/2$ なので $\theta=0$、$2\cos\phi=3/2$、すなわち $\cos\phi=3/4$ である。よって $\sin\phi=\sqrt7/4$ であり、 $$\displaystyle \{z_1,z_2\}=\left\{\frac34+\frac{\sqrt7}{4}i,\ \frac34-\frac{\sqrt7}{4}i\right\}.$$ したがってこの二つを任意の順で $z_1,z_2$ とすればよい。

(ii) 和は $$\displaystyle \frac32\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=\frac32e^{i\pi/3}$$ である。したがって $\theta=\pi/3$、$\cos\phi=3/4$ とでき、 $$\displaystyle \{z_1,z_2\}= \left\{ e^{i\pi/3}\left(\frac34+\frac{\sqrt7}{4}i\right), e^{i\pi/3}\left(\frac34-\frac{\sqrt7}{4}i\right) \right\}.$$ 展開すると $$\displaystyle \{z_1,z_2\}= \left\{ \frac{3-\sqrt{21}}8+\frac{3\sqrt3+\sqrt7}{8}i,\ \frac{3+\sqrt{21}}8+\frac{3\sqrt3-\sqrt7}{8}i \right\},$$ であり、どちらの順序でも条件を満たす。

(iii) 二つの単位複素数の和 $s=z_1+z_2$ は三角不等式より $|s|\le2$。逆に $0<|s|\le2$ なら $s=\rho e^{i\theta}$ と書き、$2\cos\phi=\rho$ となる $\phi$ を選ぶことで $$z_1=e^{i(\theta+\phi)},\qquad z_2=e^{i(\theta-\phi)}$$ とできるので、その和は $s$ となる。ここで $s=2+\alpha$ だから、解が存在する条件は $|2+\alpha|\le2$ である。 $\alpha=x+yi$、$x^2+y^2=1$ とおけば $$|2+\alpha|^2=(2+x)^2+y^2=5+4x.$$ よって $|2+\alpha|\le2$ は $\displaystyle x\le-\frac14$ と同値である。求める図形は、単位円 $x^2+y^2=1$ 上で $\displaystyle x\le-\frac14$ を満たす左側の閉弧であり、端点は $\displaystyle \left(-\frac14,\frac{\sqrt{15}}4\right)$、$\displaystyle \left(-\frac14,-\frac{\sqrt{15}}4\right)$ である。