1浜松医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 実数$x,y$を用いて$z=x+iy$とおく。まず $$|z|\le |z-(\sqrt3+i)|$$ を両辺平方して整理すると $$x^2+y^2\le (x-\sqrt3)^2+(y-1)^2 \quad\text{と同値な条件は}\quad \sqrt3x+y\le2$$ を得る。また $$\displaystyle |z-\overline z|=|2iy|=2|y|\le1 \quad\text{と同値な条件は}\quad -\frac12\le y\le\frac12.$$ さらに $$|z-2i|\le2 \quad\text{と同値な条件は}\quad x^2+(y-2)^2\le4.$$ したがって求める領域Dは、三つの不等式 $$\displaystyle x^2+(y-2)^2\le4,\qquad -\frac12\le y\le\frac12,\qquad \sqrt3x+y\le2$$ をすべて満たす点$(x,y)$全体である。円の不等式から $x^2\le y(4-y)$ であり、$\displaystyle -\frac12\le y\le\frac12$ と合わせると $\displaystyle 0\le y\le\frac12$ となる。

円 $x^2+(y-2)^2=4$ と直線 $\sqrt3x+y=2$ の交点を求める。直線から $x=(2-y)/\sqrt3$ なので $$\displaystyle \frac{(2-y)^2}{3}+(y-2)^2=4 \quad\text{と同値な条件は}\quad (2-y)^2=3.$$ $\displaystyle 0\le y\le\frac12$ を満たすのは $y=2-\sqrt3$ で、このとき $x=1$ である。上端 $\displaystyle y=\frac12$ と円の交点は $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt7}{2}$ だが、直線の条件も満たす上端の左端は $\displaystyle (-\frac{\sqrt7}{2},\frac12)$ であり、右端は直線との交点 $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ である。よって、円の左側の弧 $(0,0)$ から $\displaystyle (-\frac{\sqrt7}{2},\frac12)$ まで、円の右側の弧 $(0,0)$ から $(1,2-\sqrt3)$ まで、直線上の線分 $(1,2-\sqrt3)$ から $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ まで、および $\displaystyle y=\frac12$ 上の線分を境界とする閉領域を図示すればよい。

(2) 前問の $y$ の範囲で、円から $$x\le\sqrt{4y-y^2}$$ であり、直線から $x\le(2-y)/\sqrt3$ である。$y_0=2-\sqrt3$ とおく。$0\le y\le y_0$ では $4y-y^2\le4y_0-y_0^2=1$ だから $x\le1$。一方 $\displaystyle y_0\le y\le\frac12$ では $$\displaystyle x\le\frac{2-y}{\sqrt3}\le\frac{2-y_0}{\sqrt3}=1.$$ $y=y_0,\ x=1$ は円と直線の交点なので領域に含まれる。したがって実部の最大値をとる点は $$\alpha=1+(2-\sqrt3)i.$$

次に、直線の条件と $\displaystyle y\le\frac12$ より $$\displaystyle x+y\le\frac{2-y}{\sqrt3}+y =\frac2{\sqrt3}+y\left(1-\frac1{\sqrt3}\right) \le\frac{1+\sqrt3}{2},$$ ここで $\displaystyle 1-\frac1{\sqrt3}>0$ を用いた。$\displaystyle (x,y)=(\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ は直線上にあり、 $$\displaystyle x^2+(y-2)^2=\frac34+\frac94=3\le4$$ だから領域内にあり、この点で上の等号が成り立つ。よって $$\displaystyle \beta=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i.$$

(3) 極形式とド・モアブルの定理より $$\displaystyle \sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\qquad (\sqrt3+i)^3=8i.$$ したがって $$\displaystyle w_n=\{1+(2-\sqrt3)i\}\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}.$$ 公比の絶対値は $\displaystyle \frac12<1$ なので、部分和の極限をとると $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}w_n =\frac{1+(2-\sqrt3)i}{1-\frac i2} =\frac45\{1+(2-\sqrt3)i\}\left(1+\frac i2\right).$$ 各部分和の実部をとって極限をとれば $\displaystyle \sum R_n$ となるから、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}R_n =\frac45\left(1-\frac{2-\sqrt3}{2}\right) =\frac{2\sqrt3}{5}.$$