3浜松医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

端点での値は$$\displaystyle f(1)=\log 2-\frac12-\frac a4,\qquad f(2)=\log\frac32-\frac13-\frac a9$$である。条件$f(1)f(2)\geq0$より、両端の値は同符号または少なくとも一方が$0$である。また、$x>0$で$$\displaystyle f'(x)=-\frac1{x(x+1)}+\frac1{(x+1)^2}+\frac{2a}{(x+1)^3}=\frac{(2a-1)x-1}{x(x+1)^3}.$$両端の値がともに非負の場合、$f(2)\geq0$から$\displaystyle a\leq9\log\frac32-3$を得る。$t>0$では$\displaystyle \frac1{1+t}=1-t+t^2-\frac{t^3}{1+t}<1-t+t^2$だから、$$\displaystyle \log\frac32=\int_0^{1/2}\frac{dt}{1+t}<\int_0^{1/2}(1-t+t^2)\,dt=\frac5{12}.$$よって$\displaystyle a<\frac34$である。したがって$1\leq x\leq2$では$(2a-1)x<1$となり、$f'(x)<0$。ゆえに$f(x)\geq f(2)\geq0$である。両端の値がともに非正の場合、$f'(x)$の分子$(2a-1)x-1$は$x$について増加するので、$f$は減少した後に増加する（または区間内で単調である）。したがって$1\le x\le2$ の範囲での最大値は端点のいずれかであり、$\displaystyle f(x)\leq\max\{f(1),f(2)\}\leq0$となる。以上から条件のもとで$f$は$1\le x\le2$ の範囲全体で一定の符号をもち、$\displaystyle \int_1^2|f(x)|\,dx=\left|\int_1^2f(x)\,dx\right|$である。ここで$$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\log\left(1+\frac1x\right)+\frac{a}{x+1}\right)=f(x)$$より、$$\displaystyle \int_1^2f(x)\,dx=2\log\frac32-\log2+a\left(\frac13-\frac12\right)=\log\frac98-\frac a6.$$したがって、求める値は$$\displaystyle \boxed{\left|\log\frac98-\frac a6\right|}$$である。