2岡山大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $C_1,C_2$ の接点の横座標を $a,b>0$ とする。接線の傾きの一致から $1/a=2/b$，従って $b=2a$。 接線の切片はそれぞれ $\log(2a)-1$ と $2\log b-2$ なので，切片の一致から $\log(2a)=1$。よって $a=e/2,b=e$，共通接線は $y=2x/e$。 (2) 2曲線の交点は $\log(2x)=2\log x$ より $x=2$。 接線と各曲線の差を微分すれば，それぞれ接点で最小値0をとるので接線は両曲線の上にある。 $e/2<2<e$ であり，$x<2$ では $C_1$ が上，$x>2$ では $C_2$ が上なので面積は $$\displaystyle S=\int_{e/2}^2\left(\frac{2x}e-\log(2x)\right)dx+ \int_2^e\left(\frac{2x}e-2\log x\right)dx.$$ 部分積分による原始関数 $\displaystyle \int\log(2x)dx=x\log(2x)-x$ を用いて $$\displaystyle S=\left(\frac4e-4\log2+2-\frac e4\right)+ \left(e-\frac4e+4\log2-4\right)=\frac{3e}4-2.$$