4新潟大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle \frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$。また、$\displaystyle x>\frac b2$ において $\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{2x-b}=\frac12(2x-b)^{-1/2}\cdot 2=\frac1{\sqrt{2x-b}}$。

(2) 接点を $P=(p,y)$ とする。関数値の一致から $y=e^{ap}=\sqrt{2p-b}>0$、接線の傾きの一致から $\displaystyle ae^{ap}=\frac1{\sqrt{2p-b}}=\frac1y$。 したがって $ay^2=1$ であり、$\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}$。これを $e^{ap}=y$ に代入すると $\displaystyle ap=-\frac12\ln a$、よって $\displaystyle p=-\frac{\ln a}{2a}$。 また $\displaystyle 2p-b=y^2=\frac1a$ から $\displaystyle b=2p-\frac1a=-\frac{\ln a+1}{a}$。 $b>0$ なので $\ln a+1<0$、すなわち $\displaystyle 0<a<\frac1e$。ゆえに $\displaystyle P=\left(-\frac{\ln a}{2a},\frac1{\sqrt a}\right)$。

(3) $\displaystyle 2p-b=\frac1a>0$ より $\displaystyle p>\frac b2>0$。また $C_1(b/2)=e^{ab/2}>0=C_2(b/2)$ で、二曲線の交点は $P$ だけなので、$b/2<x<p$ では $C_1$ が上側である。求める領域は、$0\le x\le b/2$ では $C_1$ と $x$ 軸の間、$b/2\le x\le p$ では $C_1$ と $C_2$ の間にある。したがって $\displaystyle S=\int_0^p e^{ax}\,dx-\int_{b/2}^p\sqrt{2x-b}\,dx$。 $\displaystyle e^{ap}=\frac1{\sqrt a}$、$\displaystyle 2p-b=\frac1a$ を用いると $$\displaystyle S=\frac{e^{ap}-1}{a}-\left[\frac{(2x-b)^{3/2}}3\right]_{b/2}^{p} =\frac{a^{-1/2}-1}{a}-\frac1{3a^{3/2}} =\frac{2-3\sqrt a}{3a^{3/2}}.$$