3広島大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) 方程式を $x(e^x-t)=0$ と変形する。したがって $x=0$ は常に解である。$x>0$ なら $e^x=t$ であり、これは $x=\ln t$ を与える。$t>1$ より $\ln t>0$ であり、$0\leq x\leq1$ に入る条件は $\ln t\leq1$、すなわち $t\leq e$ である。よって $1<t\leq e$ では $x=0,\ln t$、$t>e$ では $x=0$ が解である。$t=e$ の場合は $\ln t=1$ である。　 (2) $1<t\leq e$ のとき $a=\ln t$ とおくと $0<a\leq1$ である。指数関数は増加するので、$0\leq x\leq a$ では $e^x\leq t$、$a\leq x\leq1$ では $e^x\geq t$ である。また $x\geq0$ より、$$\displaystyle S(t)=\int_0^a x(t-e^x)\,dx+\int_a^1x(e^x-t)\,dx.$$ 部分積分により $\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x$ だから、$$\displaystyle \int_0^1x(e^x-t)\,dx=1-\frac{t}{2},\qquad \int_0^a x(e^x-t)\,dx=1+t\left(a-1-\frac{a^2}{2}\right).$$ 前者の積分で $0\leq x\leq a$ の範囲の負の部分だけ符号を反転させると、$$\displaystyle S(t)=1-\frac{t}{2}-2\left\{1+t\left(a-1-\frac{a^2}{2}\right)\right\}=-1+\frac{3}{2}t-2t\ln t+t(\ln t)^2.$$ $t>e$ のときは $0\leq x\leq1$ で $e^x<t$ だから、$$\displaystyle S(t)=\int_0^1x(t-e^x)\,dx=\frac{t}{2}-1.$$ $t=e$ では前者の式が $e/2-1$ となり、境界でも整合する。　 (3) $1<t<e$ では (2) の式を微分して $\displaystyle S'(t)=(\ln t)^2-\frac{1}{2}$ を得る。$\ln t>0$ なので、$S'(t)=0$ となるのは $\ln t=1/\sqrt{2}$、すなわち $t=e^{1/\sqrt{2}}$ である。$1<t<e^{1/\sqrt{2}}$ では $S'(t)<0$、$e^{1/\sqrt{2}}<t<e$ では $S'(t)>0$ である。また $t>e$ では $S'(t)=1/2>0$ である。したがって $S(t)$ は $t=e^{1/\sqrt{2}}$ まで減少し、その後は増加するので、この値で最小となる。