4広島大学 2010年 数学 第4問解答・解説

3人の得点はそれぞれ独立に $1,2,\ldots,n$ のいずれかをとるから、得点の組は全部で $n^3$ 通りあり、どの組も同様に確からしい。

(1) 勝者が3人であるのは、3人の得点がすべて等しいときに限る。そのような組は $$(1,1,1),(2,2,2),\\ \ldots,(n,n,n)$$ の$n$通りである。したがって$$\displaystyle P_n(3)=\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}.$$

(2) $n=3$ のとき、勝者が2人であるには、最高点を $m$ として2人が $m$ 点、残る1人が $m$ 未満でなければならない。ここで $m=2,3$ である。残る1人の選び方は3通り、その得点は $m-1$ 通りだから、そのような組の数は$$3(2-1)+3(3-1)=9.$$全組は $3^3=27$ 通りなので、$$\displaystyle P_3(2)=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}.$$

(3) 勝者が1人で、最高点が $m$ である組を数える。勝者の選び方は3通りであり、残る2人はそれぞれ $1$ から $m-1$ までの得点をとるので、組の数は $3(m-1)^2$ 通りである。よって、平方和の公式を用いると$$\displaystyle P_n(1)=\frac{\displaystyle 3\sum\limits _{m=1}^{n}(m-1)^2}{n^3}=\frac{3\displaystyle\sum\limits _{j=0}^{n-1}j^2}{n^3}=\frac{3\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}}{n^3}=\frac{(n-1)(2n-1)}{2n^2}.$$

(4) $n\geq2$ より $2n^2>0$ なので、不等式を同値変形すると$$\displaystyle \frac{(n-1)(2n-1)}{2n^2}\geq\frac{9}{10}\quad\text{の必要十分条件は}\quad 5(n-1)(2n-1)-9n^2\geq0\quad\text{、すなわち}\quad n^2-15n+5\geq0.$$この二次式の解の境界は $\displaystyle \dfrac{15\pm\sqrt{205}}{2}$ である。$14<\sqrt{205}<15$ より、小さい方の境界は $0$ と $1$ の間、大きい方の境界は $14$ と $15$ の間にある。したがって $n\geq2$ の整数について不等式を満たすのは $n\geq15$ であり、最小値は $15$ である。

3人の得点を独立な等確率の順序付き三つ組として数える。最大得点が同点となる場合を勝者人数ごとに分け、唯一の勝者の場合は最高点ごとに数える。最後の二次不等式は自然数n≧2に限定して根の位置から最小値を確定する。