5広島大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1) $x,y\in A$ なら、0以上の整数 $a,b$ を用いて $x=4a+1,\ y=4b+1$ と書ける。すると $$xy=(4a+1)(4b+1)=4(4ab+a+b)+1$$ であり $4ab+a+b$ は0以上の整数だから $xy\in A$。

(2) $m=2r$（$r\ge0$）とおく。$3\equiv-1\pmod4$ より $$3^m=3^{2r}\equiv(-1)^{2r}=1\pmod4.$$ また $3^m$ は正なので、定義から $3^m\in A$。

(3) $3\equiv7\equiv-1\pmod4$ より $$3^m7^n\equiv(-1)^{m+n}\pmod4.$$ ゆえに $m+n$ が偶数なら余りは1で $A$ に属し、奇数なら余りは3で属さない。

(4) 正の約数はすべて $3^i7^j$（$0\le i\le2m+1,\ 0\le j\le2n+1$）の形であり、(3)より $i+j$ が偶数のものが $A$ に属する。指数が偶数・偶数の場合と奇数・奇数の場合を合わせる。偶数指数の和を $$\displaystyle E_3=\sum\limits _{r=0}^{m}3^{2r}=\frac{9^{m+1}-1}{8},\qquad E_7=\sum\limits _{s=0}^{n}7^{2s}=\frac{49^{n+1}-1}{48}$$ とすれば、奇数指数の和はそれぞれ $3E_3,7E_7$。したがって求める和は $$\displaystyle E_3E_7+(3E_3)(7E_7) =22E_3E_7 =\frac{11(9^{m+1}-1)(49^{n+1}-1)}{192}.$$

各問は4での剰余を使う。最後は約数を素因数指数で表し、指数和が偶数となる偶偶・奇奇の二群に分けて有限等比数列の和を評価する。