広島大学 2010年数学第1問解答・解説

1問題

広島大学2010年度第1問

行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の表す1次変換 $f$ によって、点 $P_1(1,0)$ が点 $P_2(0,3)$ に移され、点 $P_2$ が点 $P_3$ に、点 $P_3$ が点 $P_1(1,0)$ にそれぞれ移されるとする。次の問いに答えよ。ただし、 $a,b,c,d$ は実数である。

(1) 行列 $A$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

(3) $O(0,0)$ とする。点 $P(\cos\theta,\sin\theta)$ が $f$ によって点 $Q$ に移されるとする。 $0\leq\theta\leq2\pi$ のとき、ベクトル $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}$ のとり得る値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-\frac13\\3&-1\end{pmatrix}$ . (2) nを3で割った余りが0,1,2のとき、それぞれ $\displaystyle A^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}0&-\frac13\\3&-1\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}-1&\frac13\\-3&0\end{pmatrix}$ 。 (3) 内積の範囲は $\displaystyle \left[-\frac{3+\sqrt{73}}6,\frac{\sqrt{73}-3}6\right]$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $P_1\mapsto P_2$ より $a=0,c=3$ 。従って $f(x,y)=(by,3x+dy)$ であり、 $P_3=(3b,3d)$ 。さらに $f(P_3)=P_1$ より $3bd=1,\qquad 9b+3d^2=0.$ 後式の $b=-d^2/3$ を前式へ代入すると $-d^3=1$ 。実数条件より $d=-1,b=-1/3$ だから $\boxed{A=\begin{pmatrix}0&-1/3\\3&-1\end{pmatrix}}.$

(2) 直接掛け算をすると $A^2=\begin{pmatrix}-1&1/3\\-3&0\end{pmatrix},\qquad A^3=I.$ 従って $n$ を3で割った余りが0,1,2のとき、 $A^n$ はそれぞれ $I,A,A^2$ となる。

(3) $Q=(-\sin\theta/3,3\cos\theta-\sin\theta)$ なので $\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} &=\frac83\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta\\ &=\frac43\sin2\theta+\frac12\cos2\theta-\frac12. \end{aligned}$ $\cos\phi=3/\sqrt{73},\sin\phi=8/\sqrt{73}$ となる角をとれば、右辺は $(\sqrt{73}/6)\cos(2\theta-\phi)-1/2$ 。 $0\le\theta\le2\pi$ では余弦は−1から1まで全ての値をとるので、求める範囲は $\displaystyle \boxed{-\frac{3+\sqrt{73}}6\le\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}\le\frac{\sqrt{73}-3}6}.$

この問題で使う考え方

周期3の行列累乗
三角関数の合成

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