1東海大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) 接点の $x$ 座標を $u$ とする。放物線 $y=x^2$ の $x=u$ における接線は $y=2ux-u^2$ である。この直線が $A(a,0)$ を通るので $$0=2ua-u^2=u(2a-u).$$ 接点は $x>0$ にあるため $u>0$ であり、$u=2a$ となる。したがって $$C=(2a,4a^2).$$ $AB=4-a$ で、$AB$ は $x$ 軸上にあり、$C$ から $x$ 軸までの高さは $4a^2$ だから $$\displaystyle S=\frac12(4-a)4a^2=2a^2(4-a).$$ 微分すると $$S'=16a-6a^2=2a(8-3a).$$ $0<a<8/3$ では $S'>0$、$8/3<a<4$ では $S'<0$ なので、最大は $a=8/3$ のときに生じる。その値は $$\displaystyle S\left(\frac83\right)=2\left(\frac83\right)^2\left(4-\frac83\right)=\frac{512}{27}.$$

(2) 公差を $d$ とすると $a_7-a_3=4d=8$ より $d=2$、また $a_3=a_1+2d=3$ より $a_1=-1$ である。よって $$a_n=-1+2(n-1)=2n-3.$$ 各項について $$\displaystyle \frac1{a_na_{n+1}} =\frac1{(2n-3)(2n-1)} =\frac12\left(\frac1{2n-3}-\frac1{2n-1}\right).$$ したがって第 $N$ 項までの和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^N\frac1{a_na_{n+1}} =\frac12\left(-1-\frac1{2N-1}\right) \longrightarrow -\frac12 \quad (N\to\infty).$$ $n=1$ の項は $-1$ であり、上の式はこの項も含めている。

(3) 円周上の点を $P=(2+\cos\theta,\sin\theta)$ と表すと $$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} =2(2+\cos\theta)+\sin\theta =4+2\cos\theta+\sin\theta.$$ $\cos\phi=2/\sqrt5,\ \sin\phi=1/\sqrt5$ となる $\phi$ をとれば $$2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt5\cos(\theta-\phi)\leq\sqrt5.$$ 等号は $\theta=\phi$ のとき成立する。したがって最大値は $4+\sqrt5$ であり、そのとき $$\displaystyle P=\left(2+\frac2{\sqrt5},\frac1{\sqrt5}\right) =\left(2+\frac{2\sqrt5}{5},\frac{\sqrt5}{5}\right).$$

検算として、$u=2a$ の接線 $y=4ax-4a^2$ は $A(a,0)$ と $C(2a,4a^2)$ の双方を通る。また最大点は $0<8/3<4$ を満たす。内積が最大となる上記の点では $$\displaystyle 2\left(2+\frac{2}{\sqrt5}\right)+\frac1{\sqrt5}=4+\sqrt5$$ となり、求めた最大値と一致する。