2東海大学 2010年 数学 第2問解答・解説

3 枚の選び方は $$\displaystyle \binom{10}{3}=120$$ 通りで、どれも同様に確からしい。

(1) $X=4$ となるには、4 を選び、残る 2 枚を 1,2,3 から選べばよいので、該当する組は $\displaystyle \binom32=3$ 通りである。よって $$\displaystyle P(X=4)=\frac3{120}=\frac1{40}.$$ $Z=2$ となる組は、最小の数を $j$ としたとき $\{j,j+1,j+2\}$ に限られる。$j=1,2,\ldots,8$ の 8 通りだから $$\displaystyle P(Z=2)=\frac8{120}=\frac1{15}.$$

(2) $X=k$ となるには、$k$ を選び、残る 2 枚を $1$ から $k-1$ までの数から選ぶ。したがって $$\displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{k-1}{2}}{\binom{10}{3}} =\frac{(k-1)(k-2)}{240}.$$

(3) $Y=m$ となるには、$m$ を選び、残る 2 枚を $m+1$ から 10 までの $10-m$ 個の数から選ぶ。よって $$\displaystyle P(Y=m)=\frac{\binom{10-m}{2}}{120} =\frac{(10-m)(9-m)}{240}.$$

(4) $Z=n$ となる組では、最小値を $j$ とすると最大値は $j+n$ である。$1\leq j\leq10-n$ であり、3 枚目は両端の間の $n-1$ 個から選ぶので、該当する組は $(10-n)(n-1)$ 通りである。したがって $$\displaystyle P(Z=n)=\frac{(10-n)(n-1)}{120}.$$

(5) $X$ の値は $3,4,\ldots,10$ だから $$\displaystyle E[X]=\frac1{120}\sum\limits _{k=3}^{10} k\binom{k-1}{2}.$$ ここで $\displaystyle k\binom{k-1}{2}=3\binom{k}{3}$ であり、また $$\displaystyle \binom{k}{3}=\binom{k+1}{4}-\binom{k}{4}$$ より和は望遠和となって $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{10}\binom{k}{3}=\binom{11}{4}=330.$$ ゆえに $$\displaystyle E[X]=\frac3{120}\cdot330=\frac{33}{4}.$$

検算として、最大値の確率を全て足すと $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{10}P(X=k) =\frac1{120}\sum\limits _{k=3}^{10}\binom{k-1}{2} =\frac{\binom{10}{3}}{120}=1$$ となる。また (4) に $n=2$ を代入すると $P(Z=2)=8/120=1/15$ となり、(1) の結果と一致する。