4神戸大学 2010年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-a973f1620a69-Q4

結論 $$\displaystyle p_n=\frac{2(N+1-n)}{(N+1)(N+2)},\quad E[X]=\frac N3,\quad q_n=\frac{2(n+1)}{(N+1)(N+2)}\quad(n=0,1,\ldots,N).$$ 赤いカード2枚を含む全カードを一列に並べる。赤いカードの位置の組は$\displaystyle \binom{N+2}{2}$通りあり、どの組も同じ確率で起こる。

(1) $X=n$となるには、最初の$n$枚が白、$(n+1)$枚目が赤であればよい。このとき、もう1枚の赤の位置は$n+2,n+3,\ldots,N+2$の$N+1-n$通りである。よって $$\displaystyle p_n=\frac{N+1-n}{\binom{N+2}{2}}=\frac{2(N+1-n)}{(N+1)(N+2)}.$$

(2) 期待値の定義より $$\displaystyle E[X]=\sum\limits _{n=0}^{N}np_n=\frac{2}{(N+1)(N+2)}\sum\limits _{n=0}^{N}n(N+1-n).$$ ここで $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=0}^{N}n(N+1-n) &=(N+1)\frac{N(N+1)}{2}-\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\ &=\frac{N(N+1)(N+2)}{6}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle E[X]=\frac N3.$$

(3) $Y=n$となるのは、2枚目の赤が$(n+2)$枚目に出る場合である。そのとき1枚目の赤の位置は$1,2,\ldots,n+1$の$n+1$通りである。よって $$\displaystyle q_n=\frac{n+1}{\binom{N+2}{2}}=\frac{2(n+1)}{(N+1)(N+2)}.$$ いずれも$n=0,1,\ldots,N$で成り立つ。