5神戸大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1)

$n=1$ では $a_1=1=\cos 0$、$b_1=0=\sin 0$ である。$n-1$ で $$a_{n-1}=2^{-(n-2)}\cos((n-2)\theta),\qquad b_{n-1}=2^{-(n-2)}\sin((n-2)\theta)$$ と仮定し、漸化式に代入して加法定理を使うと $$\begin{aligned} a_n&=2^{-(n-1)}\{\cos((n-2)\theta)\cos\theta-\sin((n-2)\theta)\sin\theta\}\\ &=2^{-(n-1)}\cos((n-1)\theta),\\ b_n&=2^{-(n-1)}\{\cos((n-2)\theta)\sin\theta+\sin((n-2)\theta)\cos\theta\}\\ &=2^{-(n-1)}\sin((n-1)\theta). \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての $n\geq1$ について $$a_n=2^{-(n-1)}\cos((n-1)\theta),\qquad b_n=2^{-(n-1)}\sin((n-1)\theta)$$ である。

(2)

$r_n=OP_n$ とおくと、(1)より $$r_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}=2^{-(n-1)}.$$ 漸化式の行列は回転に長さの倍率 $1/2$ を組み合わせたものなので、$OP_{n+1}=r_n/2$、$\angle P_nOP_{n+1}=\theta=\pi/3$ である。三角形 $OP_nP_{n+1}$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle l_n^2=r_n^2+\left(\frac{r_n}{2}\right)^2-2r_n\frac{r_n}{2}\cos\frac{\pi}{3}=\frac34r_n^2, \qquad l_n=\frac{\sqrt3}{2^n}.$$

(3)

有限部分和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}l_n=\sqrt3\sum\limits _{n=1}^{N}\left(\frac12\right)^n=\sqrt3(1-2^{-N}).$$ $N\to\infty$ で $2^{-N}\to0$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}l_n=\sqrt3.$$