4新潟大学 2009年 数学 第4問解答・解説

第1枚目の値が $x$ である確率は $1/n$ である。そのとき、得点が $x$ となるには第2、第3枚目がともに $x$ 未満であればよい。残り $n-1$ 枚から順序をつけて2枚を選ぶ方法は $(n-1)(n-2)$ 通り、そのうち条件を満たすものは $(x-1)(x-2)$ 通りだから、 $$\displaystyle p_x=\frac1n\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{(n-1)(n-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{n(n-1)(n-2)}\quad(1\le x\le n).$$ 最初の3枚の中で最大のカードが置かれる位置は3か所で対称であるから、第1枚目が最大である確率は $1/3$。よって $$\displaystyle p_0=1-\frac13=\frac23.$$ 得点の期待値を $E$ とすると、 $$\displaystyle \begin{aligned}E&=\sum\limits _{x=1}^{n}xp_x=\frac{1}{n(n-1)(n-2)}\sum\limits _{x=1}^{n}x(x-1)(x-2)\\&=\frac{6}{n(n-1)(n-2)}\sum\limits _{x=1}^{n}\binom{x}{3}=\frac{6\binom{n+1}{4}}{n(n-1)(n-2)}=\frac{n+1}{4},\end{aligned}$$ ここで $\displaystyle x(x-1)(x-2)=6\binom{x}{3}$ および $\displaystyle \sum\limits _{x=1}^{n}\binom{x}{3}=\binom{n+1}{4}$ を用いた。