1新潟大学 2009年 数学 第1問解答・解説

$P\ne O$ なのでそのx座標 $p$ は正である。直線 $y=ax$ との交点条件は $$pe^{-p}=ap,$$ したがって $a=e^{-p}$。$p>0$ が動くので $0<a<1$。

曲線 $y=xe^{-x}$ の導関数は $e^{-x}(1-x)$。点Pでの接線の傾きは $$h(a)=e^{-p}(1-p)=a(1+\ln a)$$ となる。微分すると $h'(a)=\ln a+2$。これは $a=e^{-2}$ より小さいと負、大きいと正だから、最小は $$a=e^{-2},\qquad h(a)=-e^{-2}.$$

このとき $p=2$ で、直線OPは $y=e^{-2}x$。$0\le x\le2$ なら $e^{-x}\ge e^{-2}$ なので曲線が直線の上側にある。面積は $$\displaystyle \int_0^2 (xe^{-x}-e^{-2}x)\,dx =\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^2-2e^{-2} =1-5e^{-2}.$$

答え

$(1)$ $0<a<1$。 $(2)$ $a=e^{-2}$ で最小となり、$\displaystyle h_{\min}=-e^{-2}$。 $(3)$ 面積 $1-5e^{-2}$。