3琉球大学 2009年 数学 第3問解答・解説

問1　部分積分を行うと

$$\displaystyle \int_1^n x\log x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^n-\frac12\int_1^n x\,dx=\frac12n^2\log n-\frac14(n^2-1).$$

問2　$f(x)=x\log x$とおくと、$x\geq1$で

$$f'(x)=\log x+1>0$$

だから、$f$は増加します。各$k=1,\ldots,n-1$について、$k<x<k+1$ならば$f(k)<f(x)<f(k+1)$。各区間で積分して加えると

$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}f(k)<\int_1^n f(x)\,dx<\sum\limits _{k=2}^{n}f(k).$$

$f(1)=0$、$f(n)=n\log n$なので、これを整理して

$$\displaystyle \int_1^n x\log x\,dx<\sum\limits _{k=1}^{n}k\log k<\int_1^n x\log x\,dx+n\log n$$

を得ます。問1の値を代入すれば、問題の不等式になります。

問3　$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}k\log k$とおきます。積の対数の性質から

$$\displaystyle \left(1^1\cdot2^2\cdots n^n\right)^{1/(n^2\log n)}=\exp\!\left(\frac{S_n}{n^2\log n}\right).$$

$n\geq2$より$n^2\log n>0$なので、問2の不等式をこの量で割ると

$$\displaystyle \frac12-\frac{n^2-1}{4n^2\log n}<\frac{S_n}{n^2\log n}<\frac12-\frac{n^2-1}{4n^2\log n}+\frac1n.$$

$0<(n^2-1)/n^2<1$、$\log n\to\infty$、$1/n\to0$なので、両端はともに$1/2$に収束します。はさみうちの原理と指数関数の連続性により、極限は

$$\exp(1/2)=\sqrt e$$

です。