2琉球大学 2009年 数学 第2問解答・解説

問1では，$0<a<1$，$0\le x\le\pi/2$より$0\le ax\le a\pi/2<\pi/2$であるから，$\cos ax\ge0$である。したがって $$\displaystyle f(a)=\int_0^{\pi/2}\cos(ax)\,dx=\left[\frac{\sin(ax)}{a}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\sin(a\pi/2)}{a}.$$ 問2では，$t=a\pi/2$とおくと，問1の式から $$\displaystyle f(a)=\frac{\pi}{2}\frac{\sin t}{t}.$$ $a\to+0$のとき$t\to+0$である。また$0<t<\pi/2$では$\displaystyle \cos t\le\frac{\sin t}{t}\le1$だから，はさみうちの原理より$\displaystyle \lim\limits _{t\to+0}\frac{\sin t}{t}=1$。よって $$\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}f(a)=\frac{\pi}{2}.$$ 問3では$u=nx$と置換すると， $$\displaystyle f(n)=\frac1n\int_0^{n\pi/2}|\cos u|\,du.$$ 各$j=0,1,\ldots,n-1$について，範囲$j\pi/2\le u\le(j+1)\pi/2$では$\cos u$の符号は一定である。したがって $$\displaystyle \int_{j\pi/2}^{(j+1)\pi/2}|\cos u|\,du=\left|\sin\frac{(j+1)\pi}{2}-\sin\frac{j\pi}{2}\right|=1.$$ このような区間は$n$個あるので$\displaystyle \int_0^{n\pi/2}|\cos u|\,du=n$，ゆえに$f(n)=1$である。$n=1$では定義式からも$\displaystyle f(1)=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$となり，結果と一致する。

$0<a<1$では$\displaystyle 0\leq ax<\frac{\pi}{2}$なので$\cos(ax)\geq0$、積分して$\displaystyle \frac{\sin(a\pi/2)}{a}$。$a\to0$では$t=a\pi/2$として$\displaystyle \frac\pi2\frac{\sin t}{t}\to\frac\pi2$。$n$が自然数のときは$u=nx$と置換し、$0\leq u\leq n\pi/2$の範囲を長さ$\pi/2$の$n$個の範囲に分けると、各区間の$|\cos u|$積分は$1$、したがって$f(n)=n/n=1$。