4神戸大学 2005年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad g(x)&=\begin{cases}0 &(x<0),\\x &(0\le x\le1),\\2-x &(1\le x\le2),\\0 &(x>2),\end{cases}\\ &\text{グラフは }(0,0),(1,1),(2,0)\text{ を結ぶ折れ線で、外側は }y=0.\\[4pt] (2)\quad u&=\frac{x-n^2+n}{n},\quad x=n(u+n-1),\quad dx=n\,du,\\ \cos\frac{\pi x}{n}&=(-1)^{n-1}\cos(\pi u),\\ I&=n(-1)^{n-1}\int_{1-n}^{1}g(u)\cos(\pi u)\,du\\ &=n(-1)^{n-1}\int_0^1u\cos(\pi u)\,du\\ &=n(-1)^{n-1}\left[\frac{u\sin(\pi u)}{\pi}+\frac{\cos(\pi u)}{\pi^2}\right]_0^1 =\frac{2n(-1)^n}{\pi^2}. \end{aligned}$$

図示したグラフを以下に示す。

まずf(x)の値の範囲は0≦f(x)≦1である。したがってf(x)が再びfの中央区間に入るかどうかを分ける。x<0またはx>2ならf(x)=1、よってg(x)=f(1)=0。0≦x≦2ならf(x)=|x−1|で、0≦f(x)≦1なので、g(x)=f(|x−1|)=1−|x−1|。これは0≦x≦1でx、1≦x≦2で2−xとなる。端点でもg(0)=g(2)=0、頂点は(1,1)。

積分ではu=(x−n²+n)/n と置く。するとx=n(u+n−1)、dx=n du、cos(πx/n)=cos(π(u+n−1))=(−1)^{n−1}cos(πu)、積分区間は1−n≦u≦1となる。g(u)はこの区間では0≦u≦1の部分だけで非零であり、その区間でg(u)=uだから、積分はn(−1)^{n−1}∫_0^1 u cos(πu)du。部分積分により∫_0^1 u cos(πu)du=[u sin(πu)/π+cos(πu)/π²]_0^1=−2/π²。よって求める値は−2n(−1)^{n−1}/π²=2n(−1)^n/π²。 図示指示に対応するグラフ画像はfigures/MM-955f0733f9bd-Q4.png。