3旭川医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$p=0,1,2,\ldots$ とし、$m=2p+1$ とおく。原文の指定を含め、$f(x)=(\sqrt{x})^m$ である。

問1。$0\le x<x'$ に対し $u=\sqrt{x}$、$v=\sqrt{x'}$ とおけば $0\le u<v$ である。正の整数乗の差を因数分解すると $$\displaystyle v^m-u^m=(v-u)\sum\limits _{j=0}^{m-1}v^{m-1-j}u^j>0.$$ したがって $f(x)<f(x')$ であり、$f$ は $x\ge0$ の範囲で増加する。

問2。$t=\sqrt{x}$ と置換すると $x=t^2$、$dx=2t\,dt$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_a^b x^p\sqrt{x}\,dx =\int_{\sqrt a}^{\sqrt b}2t^{2p+2}\,dt\\ &=\frac{2}{2p+3}\left((\sqrt b)^{2p+3}-(\sqrt a)^{2p+3}\right)\\ &=\frac{2}{2p+3}\left(b^{p+1}\sqrt b-a^{p+1}\sqrt a\right). \end{aligned}$$ この式は $a=0$ の場合も成り立つ。

問3。問1より、各 $k=1,\ldots,n$ について単位区間上で $$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f(x)\,dx<f(k)<\int_{k}^{k+1}f(x)\,dx.$$ これらを加えると $$\displaystyle \int_0^n f(x)\,dx<\sum\limits _{k=1}^{n}f(k)<\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\int_0^{n+1}f(x)\,dx,$$ となる。最後の不等号は $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx>0$ による。問2の式を用いて $$\displaystyle \int_0^N f(x)\,dx=\frac{2}{2p+3}N^{p+1}\sqrt N\qquad(N>0)$$ だから、$N=n$ と $N=n+1$ を代入すれば $$\displaystyle \frac{2}{2p+3}n^{p+1}\sqrt n <\sum\limits _{k=1}^{n}k^p\sqrt k <\frac{2}{2p+3}(n+1)^{p+1}\sqrt{n+1}$$ を得る。

問1は平方根で変数を置き、正の整数乗の差の因数分解で端点を含めて $0\le x<x'$ なら $f(x)<f(x')$ となることを示す。問2は$t=\sqrt{x}$の置換積分で面積を計算する。問3は単調増加性を各単位区間に適用して和を積分で挟み、積分公式から指定の不等式を得る。