旭川医科大学 2021年数学第2問解答・解説

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1問題

旭川医科大学2021年度第2問

投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある.この硬貨を同時に2枚投げて，表が出た枚数に応じて数直線上の点Pを正の方向へ動かす.2枚とも表が出たら2だけ移動し，1枚だけ表が出たら1だけ移動するものとし，2枚とも裏が出たら移動しないものとする.点Pの出発点を原点として，この試行をn回くり返したとき，点Pの座標を3で割った余りが0である確率を $a_{n}$ ，1である確率を $b_{n}$ ，2である確率を $c_{n}$ とする.このとき、次の各問いに答えよ.

問 1 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ をそれぞれ求めよ.

問 2 $n \geq 1$ のとき, $a_{n+1}$ , $b_{n+1}$ , $c_{n+1}$ をそれぞれ $a_{n}$ , $b_{n}$ , $c_{n}$ を用いて表せ.

問 3 漸化式 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1+x_n}{4}$ ( $n=1,2,3,\cdots$ ) を満たす数列 $\{x_n\}$ の一般項を $x_1$ を用いて表せ.

問 4 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

1試行の移動量0,1,2の確率は $1/4,1/2,1/4$ である。問1の答えは $(a_1,b_1,c_1)=(1/4,1/2,1/4)$ 。問2の遷移式は $\begin{aligned} a_{n+1}&=a_n/4+b_n/4+c_n/2,\\ b_{n+1}&=a_n/2+b_n/4+c_n/4,\\ c_{n+1}&=a_n/4+b_n/2+c_n/4. \end{aligned}$ これに初値を入れると問1の残りは $(a_2,b_2,c_2)=(5/16,5/16,3/8)$ 。問3では $x_{n+1}-1/3=(x_n-1/3)/4$ だから $\displaystyle x_n=\frac13+\frac{x_1-1/3}{4^{n-1}}.$ 問4では $a_n+b_n+c_n=1$ より $a_{n+1}=(1+c_n)/4$ 、 $b_{n+1}=(1+a_n)/4$ 、 $c_{n+1}=(1+b_n)/4$ 。3回合成して $\displaystyle a_{n+3}=\frac{21+a_n}{64},\quad a_{n+3}-\frac13=\frac1{64}\left(a_n-\frac13\right).$ $a_1=1/4,a_2=5/16,a_3=(1+c_2)/4=11/32$ を各余りの初値に用いると $a_n=\begin{cases}1/3+2/(3\cdot4^n)&(3\mid n),\\1/3-1/(3\cdot4^n)&(3\nmid n).\end{cases}$

この問題で使う考え方

余り分類
定数調整
3項周期

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