4東京大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $K,L$ は正の奇数なので $K^2\equiv1\pmod4$ である。$KA=LB$ と $K\equiv L\pmod4$ から $$K^2A=KLB\equiv K^2B\pmod4.$$ したがって $A\equiv B\pmod4$。

(2) $d=a-b$ とおく。正の奇数 $U_n$ を $$U_0=1,\qquad U_{n+1}=U_n(4n+1)(2n+1)(4n+3)$$ で定める。帰納法で $$(4n)!=2^{3n}n!U_n$$ が成り立つ。実際、$n$ から $n+1$ へ進むときは $$(4n+4)!=(4n)!(4n+1)\,2(2n+1)(4n+3)\,4(n+1)$$ を使えばよい。階乗表示に代入し、$a=b+d$ を用いると $$\displaystyle \binom{4a+1}{4b+1} =\frac{(4a+1)U_a}{(4b+1)U_bU_d}\binom ab$$ を得る。よって $$K=(4b+1)U_bU_d,\qquad L=(4a+1)U_a$$ とおけば、$K,L$ は正の奇数で $\displaystyle K\binom{4a+1}{4b+1}=L\binom ab$ を満たす。

(3) 漸化式の因子 $(4n+1)(2n+1)(4n+3)$ は、$n$ が偶数なら $4$ を法として $3$、奇数なら $1$ である。したがって $$U_n\equiv3^{\lceil n/2\rceil}\pmod4.$$ $d=a-b$ が偶数なら $\lceil a/2\rceil=\lceil b/2\rceil+d/2$ なので $U_a\equiv U_bU_d\pmod4$。また $4a+1\equiv4b+1\equiv1\pmod4$ だから、(2) の $K,L$ は $K\equiv L\pmod4$ を満たす。(1) より $$\displaystyle \binom{4a+1}{4b+1}\equiv\binom ab\pmod4.$$

(4) $2021=4\cdot505+1$, $37=4\cdot9+1$ で、$505-9=496$ は偶数である。(3) から $$\displaystyle \binom{2021}{37}\equiv\binom{505}{9}\pmod4.$$ さらに $$\displaystyle \binom{505}{9}=\frac{497\cdot498\cdot499\cdot500\cdot501\cdot502\cdot503\cdot504\cdot505}{9!}.$$ 分子と分母から $2^7$ を取り除いた奇数部分は、それぞれ $$497\cdot249\cdot499\cdot125\cdot501\cdot251\cdot503\cdot63\cdot505\equiv1\pmod4,$$ $$1\cdot1\cdot3\cdot1\cdot5\cdot3\cdot7\cdot1\cdot9\equiv3\pmod4.$$ したがって $\displaystyle \binom{505}{9}\equiv1\cdot3^{-1}\equiv3\pmod4$ であり、求める余りは $3$。