1東京大学 2021年 数学 第1問解答・解説

共有点のx座標は$$f(x):=x^2+ax+b-(-x^2)=2x^2+ax+b=0$$の2根である。一方の根が$-1<x<0$ の範囲、他方が$0<x<1$ の範囲にあるためには$f(-1)>0,\ f(0)<0,\ f(1)>0$が必要である。逆にこの3つの符号なら、グラフは$-1<x<0$ の範囲でx軸を1回、$0<x<1$ の範囲でも1回横切る。二次式なのでそれが2根のすべてである。したがって$$2-a+b>0,\qquad b<0,\qquad 2+a+b>0.$$これを整理すると$-2-b<a<2+b$かつ$-2<b<0$を得る。よって(1)は頂点$(-2,0),(2,0),(0,-2)$をもつ三角形の内部であり、3辺はいずれも含まない。

(2)でxを固定すると、$y=x^2+L_x(a,b)$、ただし$L_x(a,b)=ax+b$である。$(a,b)$の領域に境界を加えた三角形の3頂点における$L_x$の値は$-2x,2x,-2$。一次式の最大値と最小値は頂点で比較できるので$$\displaystyle \max L_x=2|x|,\qquad \min L_x=\min(-2|x|,-2)=-2\max(1,|x|).$$係数領域は開いており、$L_x$は$(a,b)$の非定数一次式なので、端の値は取らず、その間の値をすべて取る。従って$$\displaystyle x^2-2\max(1,|x|)<y<x^2+2|x|\qquad\text{（$x$ は実数）}.$$図示する際の下側境界は$$y=\begin{cases}x^2+2x&(x\leq-1),\\x^2-2&(-1\leq x\leq1),\\x^2-2x&(x\geq1),\end{cases}$$上側境界は$$y=\begin{cases}x^2-2x&(x\leq0),\\x^2+2x&(x\geq0),\end{cases}$$であり、求める範囲はこの2曲線の間で境界を含まない。