I防衛医科大学校 2023年 数学 第I問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・I

問題の確認

原本画像（PDF p.2、印字ページ1）で大問Iの記載を確認した。放物線は$C_1:y=x^2$、$C_2:y=x^2-k^2$（$k>0$）。点$T$から$C_1$に引いた接線の接点を$A,B$とし、$A$の$x$座標が小さい。$M$は$AB$の中点である。(1)は$M$の軌跡を選び、(2)はこの軌跡が指定領域に含まれるための$k$の下限を求める。

(1) 軌跡 $C_3$

$T$の$x$座標を$u$とおくと、$T=(u,u^2-k^2)$。$C_1$上の点$(a,a^2)$を通り傾き$2a$の直線は$y=2ax-a^2$である。$C_1$との交点条件は

$$x^2=2ax-a^2\quad\text{すなわち}\quad(x-a)^2=0$$

となるため、この直線は$(a,a^2)$で$C_1$に接する。これが$T$を通る条件は

$$u^2-k^2=2au-a^2 \quad\text{すなわち}\quad (a-u)^2=k^2,$$

ゆえに接点の$x$座標は$u-k,u+k$。$k>0$なので、前者が$A$、後者が$B$である。よって

$$A=(u-k,(u-k)^2),\qquad B=(u+k,(u+k)^2).$$

中点の座標を計算すると

$$\displaystyle \begin{aligned} x_M&=\frac{(u-k)+(u+k)}2=u,\\ y_M&=\frac{(u-k)^2+(u+k)^2}2=u^2+k^2. \end{aligned}$$

$u$は実数全体を動くので、軌跡は

$$\boxed{C_3:y=x^2+k^2}$$

であり、選択肢は$\boxed{1}$（選択肢(1)）である。

(2) 領域に含まれるための $k$

領域の左辺を$F(x,y)$とすると、因数分解して

$$F(x,y)=3x^2+2xy-y^2+2x+2y=(x+y)(3x-y+2).$$

$s=k^2$とおくと$s>0$であり、軌跡上$y=x^2+s$だから

$$F(x,x^2+s)=(x^2+x+s)(-x^2+3x+2-s).$$

これがすべての実数$x$について$0$以下となる条件を調べる。まず$\displaystyle x=\frac32$では

$$\displaystyle x^2+x+s=\frac{15}{4}+s>0, \qquad -x^2+3x+2-s=\frac{17}{4}-s.$$

したがって必要条件は$\displaystyle \frac{17}{4}-s\leq0$、すなわち$\displaystyle s\geq\frac{17}{4}$である。

逆に$\displaystyle s\geq\frac{17}{4}$なら

$$\displaystyle x^2+x+s=\left(x+\frac12\right)^2+s-\frac14>0$$

が全ての実数$x$で成り立つ。また

$$\displaystyle -x^2+3x+2-s=-\left(x-\frac32\right)^2+\frac{17}{4}-s\leq0$$

も全ての実数$x$で成り立つ。よってこの条件は十分でもある。$s=k^2$かつ$k>0$より

$$\displaystyle \boxed{k\geq\frac{\sqrt{17}}2}$$

であり、選択肢は$\boxed{2}$の選択肢(5)である。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{(1) }y=x^2+k^2\text{（選択肢1）},\qquad \text{(2) }k\geq\frac{\sqrt{17}}2\text{（選択肢5）}.}$$

使用した解法

放物線上の接線を接点の座標で表し、接点条件を平方完成した。中点の軌跡は座標計算で求めた。領域条件は二次式を因数分解し、平方完成により必要条件と十分条件をそれぞれ確認した。