1東北大学 2018年 数学 第1問解答・解説

C と D の交点の x 座標は $(x-a)^2+b=-x^2$、すなわち $\displaystyle x^2-ax+\frac{a^2+b}{2}=0$ を満たす。この二次方程式の判別式は $\Delta=a^2-2(a^2+b)=-a^2-2b$。

(1) 2つの異なる実根の差の絶対値は $\sqrt{\Delta}$ なので、条件は $\Delta=1$。したがって $\displaystyle b=-\frac{a^2+1}{2}$ であり、a は任意の実数を動く。C の頂点 $(a,b)$ の軌跡は頂点 $\displaystyle (0,-\frac12)$、軸 $a=0$ の下向き放物線である。

(2) 2交点の x 座標を u,v とすると $\displaystyle u+v=a,\quad uv=\frac{a^2-1}{4}$ である。$D$ 上の2点 $(u,-u^2),(v,-v^2)$ を結ぶ直線の傾きは $-(u+v)=-a$、切片は $uv$ だから、その直線は $\displaystyle y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$　(a は実数)。 点 (x,y) がこの直線族のいずれかを通る条件は $a^2-4ax-4y-1=0$、すなわち $(a-2x)^2=4x^2+4y+1$ が実数 a について解をもつことである。これは $4x^2+4y+1\geq0$、すなわち $\displaystyle y\geq-x^2-\frac14$ と同値である。等号の場合も a=2x が存在するので境界を含む。