II防衛医科大学校 2023年 数学 第II問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・II

問題の確認

原本画像（PDF p.2、印字ページ1）で大問IIの2式と解答欄3・4の選択肢を確認した。第1部では2つの対数方程式を同時に満たす実数が存在する底$a_0$を求め、そのときの$a_0x_0$を問う。第2部では

$$\log_a\bigl(x(x-8)\bigr)=2\log_a(5x-42)$$

を満たす$x$の総和を問う。後半の底は原文どおり$a$として扱う。前半の$a_0$を指す場合も含め、有効な同一の底なら結果は底の値に依存しない。

解答欄3： $a_0x_0$

対数の底と真数の条件は$a>0$、$a\ne1$、$x(x-8)>0$、$5x-42>0$である。2式目から

$$\log_a(5x-42)=1\quad\text{すなわち}\quad 5x-42=a,$$

したがって$x=(a+42)/5$。これを1式目に用いると

$$\displaystyle \frac{a+42}{5}\left(\frac{a+42}{5}-8\right)=a^2.$$

$\displaystyle \frac{a+42}{5}-8=\frac{a+2}{5}$なので

$$(a+42)(a+2)=25a^2 \quad\text{すなわち}\quad 6a^2-11a-21=0 \quad\text{すなわち}\quad (a-3)(6a+7)=0.$$

よって候補は$a=3$または$a=-7/6$。$a>0$より$a=-7/6$は不適である。$a=3$なら$x=(3+42)/5=9$、真数は$x(x-8)=9>0$、$5x-42=3>0$となり、2式を満たす。したがって$a_0=3$、$x_0=9$であり、

$$\boxed{a_0x_0=3\cdot9=27}$$

で、解答欄3の選択肢は$\boxed{4}$である。

解答欄4：対数方程式を満たす $x$ の総和

後半では有効な底$a>0,\ a\ne1$を用いる（前半の$a_0=3$を指す場合も含む）。両方の真数が正でなければならず、特に

$$\displaystyle 5x-42>0\quad\text{したがって}\quad x>\frac{42}{5}>8,$$

この条件の下で$x(x-8)>0$も満たされる。$5x-42>0$だから

$$2\log_a(5x-42)=\log_a\bigl((5x-42)^2\bigr).$$

有効な底$a$に対して$\log_a u$は$u>0$で一対一なので、元の方程式は定義域内で

$$x(x-8)=(5x-42)^2$$

と同値である。展開・整理すると

$$\begin{aligned} x^2-8x&=25x^2-420x+1764,\\ 0&=24x^2-412x+1764,\\ 0&=6x^2-103x+441=(x-9)(6x-49). \end{aligned}$$

候補は$\displaystyle x=9,\frac{49}{6}$。定義域は$x>42/5$であり、$9>42/5$だが$49/6<42/5$なので、後者は真数条件に反して除く。よって解は$x=9$のみで、その総和は

$$\boxed{9}$$

であり、解答欄4の選択肢は$\boxed{2}$である。

最終答案

$$\boxed{\text{解答欄3: }27\text{（選択肢4）},\qquad \text{解答欄4: }9\text{（選択肢2）}.}$$

使用した解法

対数の定義域を先に課し、$\log_a u=1$から真数を底に等置した。二次方程式の解を底・真数条件で絞り、後半は同じ底の対数関数の一対一性で真数を等置して、定義域に合う解だけを選んだ。