VI防衛医科大学校 2023年 数学 第VI問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・VI

問題の確認

原本画像（PDF p.4、印字ページ3）で曲線、範囲、面積の定義を確認した。$0\leq x\leq2\pi$で$y=\sin x$と$y=a\sin(x/2)$を考える。$0<x<2\pi$の唯一の交点の$x$座標を$x_0$とし、$0\le x\le x_0$ の範囲の囲まれた面積を$S_1$、$x_0\le x\le2\pi$ の範囲の面積を$S_2$とする。$S_1=4S_2$から、まず$a$を$x_0$で表し、その値を求める。

$a$を$x_0$で表す

交点では

$$\displaystyle \sin x_0=a\sin\frac{x_0}{2}.$$

$0<x_0<2\pi$より$\sin(x_0/2)>0$。恒等式$\sin x_0=2\sin(x_0/2)\cos(x_0/2)$を用いて両辺を$\sin(x_0/2)$で割ると

$$\displaystyle \boxed{a=2\cos\frac{x_0}{2}}.$$

したがって解答欄17は$2$、18は$2$である。

面積条件から$a$を求める

$$\displaystyle t=\frac{x_0}{2},\qquad c=\cos t$$

とおくと$0<t<\pi$、$-1<c<1$、$a=2c$である。2曲線の差は

$$\displaystyle \sin x-a\sin\frac{x}{2} =2\sin\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-c\right).$$

$0<x<x_0$では$\cos(x/2)>c$なのでこの差は正、$x_0<x<2\pi$では$\cos(x/2)<c$なので負である。よって面積は

$$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_0^{x_0}\left(\sin x-a\sin\frac{x}{2}\right)dx\\ &=1-\cos x_0-2a(1-c)\\ &=2(1-c^2)-4c(1-c)\\ &=2(1-c)^2, \end{aligned}$$

また

$$\displaystyle \begin{aligned} S_2 &=\int_{x_0}^{2\pi}\left(a\sin\frac{x}{2}-\sin x\right)dx\\ &=2a(1+c)+1-\cos x_0\\ &=4c(1+c)+2(1-c^2)\\ &=2(1+c)^2. \end{aligned}$$

条件$S_1=4S_2$から

$$2(1-c)^2=8(1+c)^2.$$

$-1<c<1$より$1-c>0$、$1+c>0$なので、平方根をとると$1-c=2(1+c)$。ゆえに

$$\displaystyle c=-\frac13, \qquad \boxed{a=2c=-\frac23}.$$

従って解答欄19は$2$、20は$3$である。$-2<a<2$なので交点条件$2\cos(x_0/2)=a$も$0<x_0<2\pi$にただ1つの解を持ち、前提と整合する。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{a=2\cos\frac{x_0}{2}},\qquad \boxed{a=-\frac23}.$$

使用した解法

交点条件を倍角公式で整理し、面積は曲線の上下関係を因数分解で確認して定積分した。面積比を平方根をとって解き、交点の唯一性も余弦の単調性で確認した。