4名古屋市立大学 2024年 数学 第4問解答・解説

共有点では $p\sin x=q\cos x$ である。$\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ はこの等式を満たさないので、共有点では $\displaystyle \tan x=\frac{q}{p}>0$ となる。したがって $0\leq x\leq\pi$ では $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$、$\pi\leq x\leq2\pi$ では $\displaystyle \pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$ であり、正接の周期から $\beta=\pi+\alpha$ である。また $q=p\tan\alpha$。

$s=\sin\alpha,\ c=\cos\alpha$ とおく。$\displaystyle \alpha\le x\le\frac{\pi}{2}$ の範囲では $f(x)\geq g(x)$ であり、$\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ の範囲では $f(x)\geq0\geq g(x)$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_\alpha^{\pi/2}(p\sin x-q\cos x)\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}p\sin x\,dx\\ &=p c-q(1-s)+p =p(1+c)-p\frac{s}{c}(1-s) =\frac{p(1+c-s)}{c}. \end{aligned}$$ 最後の等式では $q=p\tan\alpha=ps/c$ と $s^2+c^2=1$ を用いた。

次に $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ の範囲では $g(x)\leq0$、また $\pi\le x\le\beta$ の範囲では $f(x)\geq g(x)$ である。後者は $x=\pi+t\ (0\leq t\leq\alpha)$ とおくと、$\tan t\leq\tan\alpha=q/p$ より $p\sin t\leq q\cos t$、すなわち $f(x)=-p\sin t\geq-q\cos t=g(x)$ となることから分かる。従って $$\displaystyle \begin{aligned} S_2 &=\int_{\pi/2}^{\pi}(-q\cos x)\,dx +\int_{\pi}^{\beta}(p\sin x-q\cos x)\,dx\\ &=q+\{p\cos\alpha+q\sin\alpha-p\}\\ &=p(c-1)+q(1+s) =p(c-1)+p\frac{s}{c}(1+s) =\frac{p(1-c+s)}{c}. \end{aligned}$$ ここでも $q=ps/c$ と $s^2+c^2=1$ を用いた。

$u=c-s$ とおくと、$-1<u<1$ であり、 $$\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\frac{1+c-s}{1-c+s} =\frac{1+u}{1-u} =\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}.$$ これを解くと $$\displaystyle u=\frac{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-1} {\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}+1} =\frac{1}{\sqrt2}.$$ 一方 $\displaystyle c-s=\sqrt2\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})$ だから $\displaystyle \cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac12$。範囲 $\displaystyle \frac{\pi}{4}<\alpha+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$ より $\displaystyle \alpha+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}$、従って $$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{12},\qquad \beta=\pi+\alpha=\frac{13\pi}{12}.$$ このとき $\displaystyle c-s=\frac1{\sqrt2}$ なので $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{1+1/\sqrt2}{1-1/\sqrt2} =\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$ となり、与えられた比にも一致する。