名古屋市立大学 2024年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）数列

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1問題

名古屋市立大学2024年度第3問

$n$ を正の整数とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $3^n-2^n$ を10で割った余りを求めよ。

(2) $3^n-2^n+4n$ を10で割った余りを $r_n$ とする。 $r_n=7$ となるような $n$ を小さい順に並べて得られる数列を $\{a_m\}$ $(m=1,2,3,\ldots)$ とする。このとき、 $a_{100}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

10で割った余りの周期を調べ、条件を満たす整数を20周期ごとに数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad n\equiv1,2,3,0\pmod4$ のとき、余りは順に 1,5,9,5.
$(2)\quad a_{100}=498.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $3^n$ の一の位は $3,9,7,1$ を周期4で繰り返し、 $2^n$ の一の位は $2,4,8,6$ を周期4で繰り返す。したがって、 $n\equiv1,2,3,0\pmod4$ の順に $3^n-2^n$ の余りは $1,5,9,5$ である。

(2) (1)より、 $3^n-2^n$ の余りは $n\equiv1,2,3,0\pmod4$ の順に $1,5,9,5$ となる。また、 $4n$ の余りは5周期で繰り返すので、 $r_n$ は20周期で繰り返す。実際、 $n=1,2,\ldots,20$ に対する余りは順に次の通りである。 $\begin{array}{c|rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline r_n&5&3&1&1&1&9&7&7&7&5&3&3&3&1&9&9&9&7&5&5 \end{array}$ このうち $r_n=7$ となるのは $n=7,8,9,18$ である。20周期を考慮すると、該当する正の整数は小さい順に各周期で $20k+7,20k+8,20k+9,20k+18$ （ $k=0,1,2,\ldots$ ）である。各周期に4個ずつあるから、100番目は第25周期の4番目であり、 $k=24$ として $a_{100}=20\cdot24+18=498$ 。

この問題で使う考え方

約数・倍数
等差数列の一般項と和

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