東海大学／2023年度／2日目

東海大学 2023年 2日目数学第3問解答・解説

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1問題

東海大学2023年度第3問

自然数 $1,2,3,\ldots$ を下の図のように表に並べていく。

格子状の表に、1行目は左から1、2、4、7、11、2行目は3、5、8、12、3行目は6、9、13、4行目は10、14、5行目は15が並ぶ。右側と下側には空のマスが続いている。

表の横の並びを行と呼び，上から順に1行目，2行目，3行目，…と呼ぶ。表の縦の並びを列と呼び，左から順に1列目，2列目，3列目，…と呼ぶ。例えば，表の2行目は $3,5,8,\ldots$ であり，表の3列目は $4,8,13,\ldots$ である。　 $i,j$ を自然数として， $i$ 行目 $j$ 列目にある数を $(i,j)$ 成分と呼ぶ。例えば， $(3,2)$ 成分は9である。上の表は， $(1,1)$ 成分を1として，以下の規則で自然数を並べている。

(i) $(i,1)$ 成分が $k$ ならば， $(1,i+1)$ 成分は $k+1$ である。

(ii) $(i,j)$ 成分（ $j\ne1$ ）が $k$ ならば， $(i+1,j-1)$ 成分は $k+1$ である。

(1) $(20,1)$ 成分は $\boxed{\text{ア}}$ であり， $(20,20)$ 成分は $\boxed{\text{イ}}$ である。また， $(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$ 成分は200である。

(2) $n$ を自然数とする。 $(1,n)$ 成分は $\boxed{\text{オ}}$ であり， $(n,n)$ 成分は $\boxed{\text{カ}}$ である。

(3) $n$ を自然数とする。表の1行目から $n$ 行目のうち，1列目から $n$ 列目を取り出す。その中に含まれる数のうち，奇数の個数を $a(n)$ とおく。例えば， $n=3$ であれば， $\begin{array}{ccc} 1&2&4\\ 3&5&8\\ 6&9&13 \end{array}$ の中の奇数の個数であるから， $a(3)=5$ となる。 $a(20)$ は $\boxed{\text{キ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

左上から右下へ向かう斜め対角線ごとに成分を並べ、対角線上の開始値と増分から一般項を求める。最後は対角線ごとに行番号の範囲と偶奇を調べて数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) ア $=210,\space{}$ イ $=761,\space{}$ ウ $=10,\space{}$ エ $=11;$
(2) オ $\displaystyle =\frac{n(n-1)}2+1,\space{}$ カ $=2n^2-2n+1;$
(3) キ $=200$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

対角線ごとに値を調べる。 $m=i+j-2$ とおくと、同じ $m$ の成分は $(1,m+1),(2,m),\ldots,(m+1,1)$ である。 $m$ 番目の対角線の直前までにある成分の個数は $\displaystyle 1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}2$ 個である。規則 (i), (ii) により、各対角線上では左下へ進むごとに値が1ずつ増える。したがって、 $m=i+j-2$ の対角線上で $(i,j)$ 成分は $\displaystyle (i,j)\text{ 成分}=\frac{m(m+1)}2+i =\frac{(i+j-2)(i+j-1)}2+i \tag{1}$ である。

(1) $(20,1)$ では $m=19$ なので、(1) より $\displaystyle (20,1)=\frac{19\cdot20}{2}+20=210.$ $(20,20)$ では $m=38$ なので $\displaystyle (20,20)=\frac{38\cdot39}{2}+20=761.$ また、 $\displaystyle \frac{19\cdot20}{2}=190<200\leq\frac{20\cdot21}{2}=210$ より、200は $m=19$ の対角線上にある。この対角線で $i=200-190=10$ 、かつ $i+j=21$ だから $j=11$ である。よって求める成分は $(10,11)$ である。

(2) $(1,n)$ では $m=n-1$ だから、(1) より $\displaystyle (1,n)=\frac{(n-1)n}{2}+1.$ $(n,n)$ では $m=2n-2$ なので $\displaystyle (n,n)=\frac{(2n-2)(2n-1)}2+n=2n^2-2n+1.$

(3) 1辺20の正方形内にある成分は、 $m=0,1,\ldots,38$ の対角線上にある。 $m$ を固定すると、該当成分の行番号 $i$ は $\displaystyle \max(1,m-18)\leq i\leq\min(20,m+1)$ を満たし、その値は $\displaystyle \frac{m(m+1)}2+i$ である。 $\displaystyle \frac{m(m+1)}2$ は、 $m$ を4で割った余りが1または2のとき奇数、それ以外のとき偶数である。したがって各対角線の奇数個数は、上の範囲の $i$ のうち、前者では偶数、後者では奇数となるものの個数である。順に数えると次の通り。 $\begin{array}{c|c|r} m&\text{各対角線の奇数個数}&\text{小計}\\\hline 0\text{--}3&1+1+1+2&5\\ 4\text{--}7&3+3+3+4&13\\ 8\text{--}11&5+5+5+6&21\\ 12\text{--}15&7+7+7+8&29\\ 16\text{--}19&9+9+9+10&37\\ 20\text{--}23&9+9+9+8&35\\ 24\text{--}27&7+7+7+6&27\\ 28\text{--}31&5+5+5+4&19\\ 32\text{--}35&3+3+3+2&11\\ 36\text{--}38&1+1+1&3 \end{array}$ よって $a(20)=5+13+21+29+37+35+27+19+11+3=200.$

この問題で使う考え方

等差数列の一般項と和
総和記号と数列の和
約数・倍数

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