7信州大学 2016年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \text{第 }k\text{ 群は }k,2k,\ldots,(k-1)k,k^2,(k-1)k,\ldots,2k,k\text{ である。} \text{(1) 上りの }k\text{ 項と、頂点の }k^2\text{ の後の下り }k-1\text{ 項からなるので、項数は }2k-1\text{。したがって第 }n\text{ 群の末項までの項数は} \sum\limits _{k=1}^{n}(2k-1)=2\frac{n(n+1)}{2}-n=n^2. \text{(2) 第 }n\text{ 群の総和は} n(1+2+\cdots +(n-1)+n+(n-1)+\cdots +2+1) =n\left(2\frac{(n-1)n}{2}+n\right)=n\cdot n^2=n^3. \text{(3) 第 }k\text{ 群の各項は }km\ (1\le m\le k)\text{ だから、2016が含まれるには }k\mid2016\text{ かつ }k^2\ge2016\text{ が必要。} 44^2=1936<2016<2025=45^2\text{ より }k\ge45.\quad 2016=2^5\cdot3^2\cdot7. 45,46,47\text{ はいずれも }2016\text{ の約数ではなく、 }48=2^4\cdot3\mid2016\text{ なので、初めて含む群は第 }48\text{ 群。} 2016=48\cdot42\text{ であり、第 }48\text{ 群の上りの }42\text{ 番目に現れる。} \text{第 }47\text{ 群までの項数は }47^2=2209\text{ だから、全体では }2209+42=2251\text{ 番目。}$$