東海大学／2024年度／2日目

東海大学 2024年 2日目数学第1問解答・解説

数学と人間の活動（整数）いろいろな式微分・積分の考え指数関数・対数関数図形と方程式三角関数数列図形の性質

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1問題

東海大学2024年度第1問

次の空欄を埋めなさい。解答は分数の場合には既約分数の形で書きなさい。

(1) 自然数 $m,n$ が $m^{2}-n^{2}=35$ を満たすとき、 $mn$ の取り得る値は $\boxed{\text{ア}}$ と $\boxed{\text{イ}}$ である。ただし、 $\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$ とする。

(2) $\displaystyle \left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{9}$ の展開式の定数項は $\boxed{\text{ウ}}$ である。

(3) $A,B$ を実数とする。関数 $f(x)=Ax^{2}+24x$ と $g(x)=24x^{2}+Bx$ が等式 $\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=24x+x^{2}\int_{0}^{1}g(t)\,dt,\\ g(x)&=24x^{2}+x\int_{0}^{1}f(t)\,dt. \end{aligned}$ を満たすとき、 $A=\boxed{\text{エ}},\ B=\boxed{\text{オ}}$ である。

(4) $\displaystyle 2^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{1}{2}}\times 6^{-\frac{1}{6}}\times(1.5)^{-\frac{1}{3}}=\boxed{\text{カ}}$ である。

(5) 2直線 $l:4x+3y-3=0,\ m:3x+4y-8=0$ の交点を $P$ とし、 $l$ と $y$ 軸の交点を $Q$ とし、 $m$ と $y$ 軸の交点を $R$ とする。このとき、 $\angle QPR$ を2等分する直線の方程式は $7x+\boxed{\text{キ}}y-\boxed{\text{ク}}=0$ である。

(6) $\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta=\frac{1}{3},\ \cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{5}$ のとき、 $\cos(\alpha+\beta)=\boxed{\text{ケ}}$ である。

(7) 一般項が $a_{k}=(-1)^{k+1}k^{2}$ である数列 $\{a_{k}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。 $S_{2n}$ と $S_{2n-1}$ を $n$ の式で表すと、 $S_{2n}=\boxed{\text{コ}}$ であり、 $S_{2n-1}=\boxed{\text{サ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各小問を独立に計算し、整数因数の全列挙、二項定理の該当項、定積分による係数決定、指数法則、座標・角の二等分線、三角関数の和積公式、項を組にする数列和で解いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) ア $=6,\space{}$ イ $=306;\quad$ (2) ウ $=84;\quad$ (3) エ $\displaystyle =\frac{84}{5},\space{}$ オ $\displaystyle =\frac{88}{5};\quad$ (4) カ $=\sqrt2;\quad$ (5) キ $=7,\space{}$ ク $=11;\quad$ (6) ケ $\displaystyle =-\frac{208}{225};\quad$ (7) コ $=-2n^2-n,\space{}$ サ $=2n^2-n.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

・ $m^2-n^2=(m-n)(m+n)=35$ 。 $m>n$ だから両因数は正の奇数であり、因数の組は $(1,35),(5,7)$ である。前者から $(m,n)=(18,17)$ 、後者から $(m,n)=(6,1)$ を得る。したがって $mn=306,6$ であり、小さい順に $6,306$ 。

・二項定理の一般項は $\displaystyle \binom{9}{k}x^{9-k}\left(\frac1{x^2}\right)^k =\binom{9}{k}x^{9-3k}.$ 定数項は $9-3k=0$ 、すなわち $k=3$ の項であるから、係数は $\displaystyle \binom93=84$ 。

・二つの積分を計算すると $\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=8+\frac B2,\qquad \int_0^1f(t)\,dt=\frac A3+12.$ 与式で $x^2$ 、 $x$ の係数をそれぞれ比較して $\displaystyle A=8+\frac B2,\qquad B=\frac A3+12.$ これを代入すると $\displaystyle A=14+\frac A6$ 、よって $\displaystyle A=\frac{84}{5}$ 、さらに $\displaystyle B=\frac{88}{5}$ 。

・ $\displaystyle 1.5=\frac32$ より $2^{1/3}3^{1/2}6^{-1/6}(1.5)^{-1/3} =2^{1/3}3^{1/2}2^{-1/6}3^{-1/6}3^{-1/3}2^{1/3} =2^{1/2}=\sqrt2.$

・連立して $P=(-12/7,23/7)$ 、また $Q=(0,1), R=(0,2)$ 。したがって $\displaystyle PQ=\frac{\sqrt{12^2+16^2}}7=\frac{20}{7},\qquad PR=\frac{\sqrt{12^2+9^2}}7=\frac{15}{7}.$ $\angle QPR$ の内角の二等分線が $QR$ と交わる点を $T$ とすると、角の二等分線の定理から $QT:TR=PQ:PR=4:3$ 。 $QR=1$ なので $T=(0,11/7)$ 。 $P,T$ を通る直線の傾きは $-1$ だから $\displaystyle y=-x+\frac{11}{7},\qquad 7x+7y-11=0.$ よって $\text{キ}=7,\text{ク}=11$ 。

・ $U=(\alpha+\beta)/2,\ V=(\alpha-\beta)/2$ とおくと、和積公式から $\displaystyle 2\cos U\sin V=\frac13,\qquad 2\cos U\cos V=\frac15.$ 両式を平方して加えると $\displaystyle 4\cos^2U=\frac19+\frac1{25}=\frac{34}{225}$ 。したがって $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos 2U=2\cos^2U-1 =\frac{17}{225}-1=-\frac{208}{225}.$

・偶数項までを一組ずつまとめると $\displaystyle S_{2n}=\sum\limits _{j=1}^{n}\bigl((2j-1)^2-(2j)^2\bigr) =\sum\limits _{j=1}^{n}(-4j+1) =-2n^2-n.$ また $a_{2n}=-4n^2$ なので $S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}=(-2n^2-n)+4n^2=2n^2-n.$

この問題で使う考え方

約数・倍数
二項定理
定積分
有理数指数と指数法則
直線の方程式
座標による距離
角の二等分線の性質
三角関数の加法定理

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