東海大学／2024年度／2日目

東海大学 2024年 2日目数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

東海大学2024年度第2問

次の空欄を埋めなさい。解答は分数の場合には既約分数の形で書きなさい。

2 玉が2個ずつ入った2つの袋 $A,B$ について、 $B$ から玉を1個取り出して $A$ に入れ、次に $A$ から玉を1個取り出して $B$ に入れるという操作を考える。 $A$ に白玉が2個、 $B$ に黒玉が2個入った状態から始め、この操作を $n$ 回繰り返した後に、 $B$ に入っている黒玉が2個である確率を $P_{n}$ 、1個である確率を $Q_{n}$ 、0個である確率を $R_{n}$ と表す。以下の $\text{ア}$ ～ $\text{ス}$ には実数が入る。

(1) $P_{1}=\boxed{\text{ア}},\ Q_{1}=\boxed{\text{イ}},\ R_{1}=\boxed{\text{ウ}}$ である。

(2) $P_{2}=\boxed{\text{エ}},\ Q_{2}=\boxed{\text{オ}},\ R_{2}=\boxed{\text{カ}}$ である。

(3) $n$ 回目の操作の後で $B$ に入っている黒玉の個数が2個であり、 $(n+1)$ 回目の操作の後も $B$ に入っている黒玉の個数が2個である確率を $P_{n}$ を用いて表すと $\boxed{\text{キ}}P_{n}$ である。

(4) $n$ 回目の操作の後で $B$ に入っている黒玉の個数が1個であり、 $(n+1)$ 回目の操作の後に $B$ に入っている黒玉の個数が2個である確率を $Q_{n}$ を用いて表すと $\boxed{\text{ク}}Q_{n}$ である。

(5) $n$ 回目の操作の後で $B$ に入っている黒玉の個数が0個であり、 $(n+1)$ 回目の操作の後に $B$ に入っている黒玉の個数が2個である確率は $\boxed{\text{ケ}}$ である。したがって、 $P_{n+1}=\boxed{\text{キ}}P_{n}+\boxed{\text{ク}}Q_{n}$ である。

(6) $Q_{n+1}=\boxed{\text{コ}}$ である。

(7) $P_{n}=\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}\cdot\left(\boxed{\text{ス}}\right)^{n}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

袋の黒玉数を3状態に分け、各状態で最初の移動玉の色と戻す玉の色を場合分けして遷移確率を全列挙した。全確率の和と一次漸化式で各空欄を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) ア $\displaystyle =\frac13,\space{}$ イ $\displaystyle =\frac23,\space{}$ ウ $=0;\quad$ (2) エ $\displaystyle =\frac29,\space{}$ オ $\displaystyle =\frac23,\space{}$ カ $\displaystyle =\frac19;\quad$ (3) キ $\displaystyle =\frac13;\quad$ (4) ク $\displaystyle =\frac16;\quad$ (5) ケ $=0;\quad$ (6) コ $\displaystyle =\frac23;\quad$ (7) サ $\displaystyle =\frac16,\space{}$ シ $\displaystyle =\frac12,\space{}$ ス $\displaystyle =\frac13.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

・操作後の $B$ の黒玉数を状態 $2,1,0$ とする。各状態の遷移確率を、順に「次に2個、1個、0個」と並べて調べる。

・状態2では、 $B$ から黒玉を移した後、 $A$ の3個中1個が黒玉である。したがって $2\to2$ は $1/3$ 、 $2\to1$ は $2/3$ 、 $2\to0$ は $0$ 。

・状態1では両袋に黒白1個ずつある。最初に $B$ から黒玉を移す確率は $1/2$ で、その後 $A$ から白玉を戻す確率は $1/3$ 、黒玉を戻す確率は $2/3$ 。また、最初に白玉を移す確率も $1/2$ で、その後 $A$ から黒玉を戻す確率は $1/3$ 、白玉を戻す確率は $2/3$ 。よって $1\to2$ は $1/2\cdot1/3=1/6$ 、 $1\to0$ は $1/2\cdot1/3=1/6$ 、 $1\to1$ は $1/2\cdot2/3+1/2\cdot2/3=2/3$ 。

・状態0では $B$ の2個は白玉、 $A$ の2個は黒玉である。白玉を $A$ に移したあと、 $A$ の3個中2個が黒玉なので $0\to1$ は $2/3$ 、 $0\to0$ は $1/3$ 、 $0\to2$ は $0$ 。

初期状態は2だから $P_1=1/3,\ Q_1=2/3,\ R_1=0$ 。2回後は $\displaystyle P_2=\frac13P_1+\frac16Q_1=\frac19+\frac19=\frac29,\quad Q_2=\frac23(P_1+Q_1+R_1)=\frac23,\quad R_2=\frac16Q_1+\frac13R_1=\frac19.$

・状態2から次も2となる確率は $1/3$ なので、該当する同時確率は $\displaystyle \frac13P_n$ 。状態1から次に2となる確率は $\displaystyle \frac16$ なので、同時確率は $\displaystyle \frac16Q_n$ 。状態0から2へ移ることはないため、その確率は $0$ 。

・どの状態からも次に状態1となる確率は $2/3$ である。したがって $\displaystyle Q_{n+1}=\frac23P_n+\frac23Q_n+\frac23R_n =\frac23(P_n+Q_n+R_n)=\frac23.$

・よって $n\ge1$ では $Q_n=2/3$ であり、 $\displaystyle P_{n+1}=\frac13P_n+\frac16\cdot\frac23 =\frac13P_n+\frac19,\qquad P_1=\frac13.$ 定数解は $P=1/6$ だから、 $P_{n+1}-1/6=(P_n-1/6)/3$ 。これを繰り返すと $\displaystyle P_n-\frac16=\left(P_1-\frac16\right)\left(\frac13\right)^{n-1} =\frac12\left(\frac13\right)^n.$ したがって $\displaystyle P_n=\frac16+\frac12\left(\frac13\right)^n$ 。

この問題で使う考え方

確率の基本法則
条件付き確率
漸化式
等比数列の一般項と和

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。