II慶應義塾大学 2024年 数学 第II問解答・解説

(1) 袋1の赤玉数が $k$ 個なら、袋1には赤玉 $k$ 個、白玉 $3-k$ 個、袋2には赤玉 $2-k$ 個、白玉 $1+k$ 個が入っている。

状態Aでは最初に白玉を移し、袋2は赤2個・白2個となる。戻す玉が白ならA、赤ならBだから、$\displaystyle P(A\to A)=P(A\to B)=\frac12$ である。

状態Bでは、最初に赤玉を移す確率は $\displaystyle \frac13$ であり、その後袋2から白玉を戻す確率は $\displaystyle \frac12$、赤玉を戻す確率も $\displaystyle \frac12$ である。よってこの枝はA、Bへそれぞれ $\displaystyle \frac16$。最初に白玉を移す確率は $\displaystyle \frac23$ で、その後袋2（赤1個・白3個）から赤玉を戻す確率は $\displaystyle \frac14$、白玉を戻す確率は $\displaystyle \frac34$ である。よってこの枝はCへ $\displaystyle \frac16$、Bへ $\displaystyle \frac12$。合計して $$\displaystyle P(B\to A)=\frac16,\quad P(B\to B)=\frac23.$$

状態Cでは、最初に赤玉を移す確率は $\displaystyle \frac23$。その後袋2（赤1個・白3個）から白玉を戻す確率は $\displaystyle \frac34$ なのでBへ $\displaystyle \frac12$、赤玉を戻す確率は $\displaystyle \frac14$ なのでCへ $\displaystyle \frac16$。最初に白玉を移した場合（確率 $\displaystyle \frac13$）には袋2が白玉4個となり、白玉が戻ってCのままである。したがって $$\displaystyle P(C\to A)=0,\quad P(C\to B)=\frac12.$$ 遷移確率の各行の和はそれぞれ $1,1,1$ となる。

(2) 前問の確率を用いると、$n\ge2$ で $$\displaystyle a_n=\frac12a_{n-1}+\frac16b_{n-1},\qquad b_n=\frac12a_{n-1}+\frac23b_{n-1}+\frac12c_{n-1}.$$ また $a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}=1$ だから $$\displaystyle b_n=\frac12(a_{n-1}+c_{n-1})+\frac23b_{n-1} =\frac12+\frac16b_{n-1}.$$ 初期状態では $b_0=1$。この漸化式の定数解は $\displaystyle \frac35$ であり、$\displaystyle b_n-\frac35=\frac16(b_{n-1}-\frac35)$ より $$\displaystyle b_n=\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n.$$

次に $d_n=2^na_n$ とおくと、初期値 $d_0=0$ で $$\displaystyle d_n=d_{n-1}+\frac{2^n}{6}b_{n-1} =d_{n-1}+\frac{2^{n-1}}5+\frac{2}{5\cdot3^n}.$$ これを $n=1$ から $n$ まで加えると $$\displaystyle d_n=\frac15\sum\limits _{j=0}^{n-1}2^j+\frac25\sum\limits _{j=1}^n\frac1{3^j} =\frac{2^n-1}{5}+\frac{1-3^{-n}}5 =\frac15\left\{2^n-\left(\frac13\right)^n\right\}.$$ 初回の確率は $\displaystyle (a_1,b_1,c_1)=(\frac16,\frac23,\frac16)$ で、得られた式も $\displaystyle b_1=\frac23$、$\displaystyle a_1=\frac16$ を与える。