3東海大学 2024年 2日目 数学 第3問解答・解説

・ 半径1の球に内接する立方体では、立方体の空間対角線が球の直径である。一辺を $a_1$ とすると $\sqrt3a_1=2$ だから $$\displaystyle a_1=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

・ 立方体に内接する球の直径は立方体の一辺に等しい。したがって $$\displaystyle r_2=\frac{a_1}{2}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

・ 球 $S_2$ に内接する立方体の一辺を $a_2$ とすると、$\sqrt3a_2=2r_2$。よって $a_2=2/3$。

・ 半径を $r_n$、立方体 $P_n$ の一辺を $a_n$ とすると $$\displaystyle r_1=1,\qquad a_n=\frac{2r_n}{\sqrt3},\qquad r_{n+1}=\frac{a_n}{2}=\frac{r_n}{\sqrt3}.$$ したがって $r_n=3^{-(n-1)/2}$、$a_n=2\cdot3^{-n/2}$。ゆえに $$V(P_n)=a_n^3=8\cdot3^{-3n/2}.$$

・ 球 $S_n$ の体積は $$\displaystyle V(S_n)=\frac43\pi r_n^3 =\frac43\pi\cdot3^{-3(n-1)/2} =4\pi\sqrt3\cdot3^{-3n/2}.$$

・ $S_1$ に対する体積比は $$\displaystyle \frac{V(S_n)}{V(S_1)}=3^{-3(n-1)/2}.$$ $n=4$ ではこの比は $1/(81\sqrt3)>1/216$（両辺の分母を比べると $81\sqrt3<216$、実際 $19683<46656$）。一方、$n=5$ では $3^{-6}=1/729<1/216$。この比は $n$ が1増えるごとに $1/(3\sqrt3)$ 倍となって小さくなるので、条件を満たす最小の自然数は $5$。