3神戸大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $OA_0=OB_0=OC_0$ かつ $OH\perp A_0B_0C_0$ より、$HA_0=HB_0=HC_0$ である。したがって $H$ は正三角形 $A_0B_0C_0$ の外心であり、重心と一致する。正三角形の中線の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}a_0$ で、重心は中線を頂点側から $2:1$ に内分するから、$\displaystyle A_0H=\frac23\cdot\frac{\sqrt3}{2}a_0=\frac{a_0}{\sqrt3}$。また $OH\perp A_0B_0C_0$ より三角形 $OA_0H$ は $H$ を直角とするので、$\displaystyle OH=\sqrt{a_0^2-A_0H^2}=a_0\sqrt{\frac23}$。したがって、$\displaystyle \cos\theta=\frac{A_0H}{OA_0}=\frac1{\sqrt3}$、$\displaystyle \sin\theta=\frac{OH}{OA_0}=\sqrt{\frac23}$。　 (2) $\displaystyle t=\frac{OA_1}{OA_0}$ とおく。側面が正方形で、上底 $A_1B_1C_1$ は正三角形なので、三つの垂直な側辺の長さは等しい。各点までの平面 $A_0B_0C_0$ からの高さは、それぞれ $(1-t_A)OH,(1-t_B)OH,(1-t_C)OH$（ただし $t_A=OA_1/OA_0$ など）だから、$t_A=t_B=t_C=t$。$O$ の平面 $A_0B_0C_0$ への射影は $H$ であり、相似比から $A_1'B_1'=t a_0$。三点の高さが等しいので $A_1B_1=A_1'B_1'=t a_0$、よって $a_1=t a_0$。一方、三角柱の高さは $\displaystyle (1-t)OH=(1-t)a_0\sqrt{\frac23}$ であり、側面が正方形だからこれは底辺の長さ $a_1=t a_0$ に等しい。したがって $\displaystyle t a_0=(1-t)a_0\sqrt{\frac23}$、ゆえに $\displaystyle t=\frac{\sqrt{2/3}}{1+\sqrt{2/3}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt6-2$。　 (3) 各段階で $OA_k=a_k$ であり、同じ議論を正四面体 $OA_kB_kC_k$ に適用できるから、$a_{k+1}=(\sqrt6-2)a_k$。$r=\sqrt6-2$ とおけば $a_k=r^k a_0$。正三角柱の底面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}a_k^2$、高さは側面が正方形であることから $a_k$ なので、$\displaystyle V_k=\frac{\sqrt3}{4}a_k^3=\frac{\sqrt3}{4}r^{3k}a_0^3$。$0<r<1$ だから、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}V_k=\frac{\sqrt3}{4}a_0^3\frac{r^3}{1-r^3}$。ここで $r^3=18\sqrt6-44$ より $\displaystyle \frac{r^3}{1-r^3}=\frac{18\sqrt6-44}{45-18\sqrt6}=\frac{2(\sqrt6-2)}9$。したがって $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}V_k=\frac{\sqrt3(\sqrt6-2)}{18}a_0^3$。