4神戸大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) 同じ目が2回出れば和は $2\vec v_i$ で、$y,z$ 成分は $\pm2$ となるため $x$ 軸上にはない。異なる目の組で和が $x$ 軸上になるのは $\vec v_1+\vec v_2=(2,0,0)$ または $\vec v_3+\vec v_4=(-2,0,0)$ の順序付き計4通り。従って確率は $4/4^2=1/4$。

(2) 前半2歩と後半2歩の和をそれぞれ $U,V$ とする。異なる目の組の和は $\pm2\vec e_x,\pm2\vec e_y,\pm2\vec e_z$ のいずれかで、同じ目の組の和 $2\vec v_i$ はどの可能な和とも内積が0にならない。従って両方が異なる目の組で、軸方向が異なる場合に限る。前半の順序は12通り、各前半に対して後半は他の2軸・各2符号・各2順序で8通り。よって確率は $12\cdot8/4^4=3/8$。

(3) 3回の目を $i,j,k$ とすると、$\overrightarrow{OP_1}=\vec v_i$、$\overrightarrow{OP_2}=\vec v_i+\vec v_j$、$\overrightarrow{OP_3}=\vec v_i+\vec v_j+\vec v_k$ である。和と差をとれば、4点が同一平面上にある条件は3ベクトル $\vec v_i,\vec v_j,\vec v_k$ が同じ平面に平行であることと同値である。同じ目があれば異なる移動ベクトルは2本以下なので、この条件を満たす。3目がすべて異なれば、任意の3ベクトルの自乗は3、相異なる2ベクトルの内積は$-1$であり、一次結合が0なら各ベクトルとの内積から係数はすべて0となるため独立。従って平面上になる確率は $1-4\cdot3\cdot2/4^3=5/8$。

(4) 各目の出現回数を $c_1,c_2,c_3,c_4$ とする。$\vec v_4=-\vec v_1-\vec v_2-\vec v_3$ と任意の3ベクトルの独立性から、$P_n=O$ は $c_1=c_2=c_3=c_4$ と同値。$n\le6$ では $n=4$ の場合に限り各目が1回ずつ出るので、確率は $4!/4^4=3/32$。それ以外は0。

各小問をベクトル和の分類で数え上げる。直交は座標軸方向への分解、同一平面上にある条件は3本の移動ベクトルの関係、原点復帰は4種類の出目の回数に帰着する。