2神戸大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $q=e^{-x}>0$ とおく。有限等比数列の和より $$\displaystyle (1+q)\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^kq^k =1-(-q)^{n+1} =1+(-1)^nq^{n+1}.$$ したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^kq^k-\frac1{1+q} =\frac{(-1)^nq^{n+1}}{1+q}.$$ $q=e^{-x}$ を戻せば、求める等式を得る。

(2) $\displaystyle A_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^k(1-e^{-k})}{k}$、$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}\,dx$ とおく。また $$\displaystyle L=\int_0^1\frac{dx}{1+e^{-x}} =\left[\log(1+e^x)\right]_0^1 =\log\frac{1+e}{2},$$ ここで $\displaystyle \frac{d}{dx}\log(1+e^x)=\frac1{1+e^{-x}}$ を用いた。(1)を $x=0$ から $1$ まで積分すると $$1+A_n-L=(-1)^n I_n.$$ 一方、問題の等式は $A_n-S=(-1)^nI_n$ だから、両式を比べて $$\displaystyle A_n-S=1+A_n-L,\qquad S=L-1=\log\frac{1+e}{2}-1.$$

(3) $0\le x\le1$ では $1+e^{-x}\ge1$ かつ $0<e^{-(n+1)x}$ なので $$\displaystyle 0\le\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}\le e^{-(n+1)x}.$$ よって $$\displaystyle I_n\le\int_0^1e^{-(n+1)x}\,dx =\frac{1-e^{-(n+1)}}{n+1} \le\frac1{n+1}.$$ (2)より $\displaystyle |A_n-S|=I_n\le\frac1{n+1}\to0$ である。したがって部分和 $A_n$ は $S$ に収束し、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(1-e^{-k})}{k} =S=\log\frac{1+e}{2}-1.$$