5神戸大学 2017年 数学 第5問解答・解説

時刻 $t$ における $P$ は $(ct,0)$。$t=0$ で $P$ から $Q$ へのベクトルは $(0,-r)$ であり、反時計回りに角速度 $\omega$ で回転するから $$Q(t)=\bigl(ct+r\sin(\omega t),\ -r\cos(\omega t)\bigr).$$

$x(t)=ct+r\sin(\omega t)$ とおくと $$x'(t)=c+r\omega\cos(\omega t).$$ もし $c\ge r\omega$ なら $x'(t)\ge0$。等号の場合も $x'$ が0となるのは孤立した時刻だけなので、任意の区間で $x(t)$ は異なる時刻に同じ値をとらずに増加する。従って異なる時刻の $x$ 座標が異なり、軌跡は自分自身と交わらない。

逆に $c<r\omega$ とする。$h(\theta)=r\sin\theta-(c/\omega)(\pi-\theta)$ とおくと $h(0)<0$。$\sin\varepsilon/\varepsilon\to1>c/(r\omega)$ より、十分小さい $\varepsilon>0$ を取れば $$\displaystyle h(\pi-\varepsilon)=r\sin\varepsilon-\frac{c}{\omega}\varepsilon>0$$ となる。中間値の定理により、ある $0<\theta<\pi$ で $h(\theta)=0$。時刻 $t_1=\theta/\omega,\ t_2=(2\pi-\theta)/\omega$ は異なり、$y(t_1)=y(t_2)$。さらに $$\displaystyle x(t_2)-x(t_1)=\frac{2c}{\omega}(\pi-\theta)-2r\sin\theta=0.$$ 従ってこの二時刻で $Q$ は同じ点を通る。以上より、必要十分条件は $c\ge r\omega$。

点Pの運動を加えると絶対座標の水平成分に $ct$ が加わり、円運動の相対成分が $(r\sin\omega t,-r\cos\omega t)$ となる。$c\ge r\omega$ なら水平座標の導関数が非負で、どの時間区間でも正の部分を持つから水平座標は異なる時刻に同じ値をとらずに増加し、交点はない。$c<r\omega$ なら対称な位相 $\theta,2\pi-\theta$ を選び、連続関数の符号変化で水平座標も一致する位相が得られるので交点を持つ。